OI数学基础

建议先把具体数学笔记
看一遍

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线性代数

线性空间: 在一个数域上，关于加法和数乘的封闭空间
秩: 线性独立的纵列的极大数，通常表示为$rk(A)$或$rank(A)$
基(基底): 基元素成为称为基向量，向量空间里的任意一个元素，都可以唯一的表示成基向量的线性组合

余子式: $A$关于$(i,j)$的余子式$M_{i,j}$是去掉第$i$行第$j$列的矩阵行列式

代数余子式:#

$$C_{i,j}=(-1{)}^{i+j}{M}_{i,j}$$

伴随矩阵:#

$C$的转置$A^{\ast }$称为$A$的伴随矩阵
一些性质

• $A$可逆当且仅当$A^{\ast }$可逆
• $A^{\ast }=|A|A^{-1}$
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逆矩阵#

在原矩阵右边放一个单位矩阵然后跑高斯消元

可以快速求解
$$Ax=B$$

行列式#

$$|A|=\sum _{p\in {\sigma }_n}(-1{)}^{sgn(p)}\prod A_{i,p[i]}$$
行列式七大性质：

• 1.行列式和它的转置行列式相等。
• 2.行列式中某一行元素的公因子可以提到行列式符号的外边来。或者说，用一个数来乘行列式，可以把这个数乘到行列式的某一行上。
• 3.若果行列式中有一行元素全为零，则行列式的值为零。
• 4.交换行列式两行，行列式仅改变符号。
• 5.若行列式中有两行完全相同，则这个行列式的值为零。
• 6.若行列式有两行的对应元素成比例，则这个行列式等于零。
• 7.把行列式某一行的元素乘以同于个数后加到另一行的对应元素上，行列式不变。

LGV 引理#

矩阵树定理#

就是度数矩阵-邻接矩阵后，去掉一个点的行列式

令$g[i][j]$为从$i到j$的边数的相反数，$g[i][i]$为$i$的入度，那么以$i$号节点为根的生成树个数就是去掉第$i$行第$i$列的行列式

loj上的简单证明

BEST定理#

$n个点有向图欧拉回路的条数为任意一个点的树形图乘上(点度数-1)！的乘积$
$$ec(G)=t_w(G)\prod (deg(v)-1)!$$

band-matrix(带状矩阵消元)#

Froggy写的好好呀
浅谈高斯消元拓展之 band-matrix

其实就是限制一个band区间，然后每次交换，消元都在这个区间里就行了
向右消元要band*2

特征值与特征多项式#

线性变换的特征向量在变换后方向不变，缩放比例即为特征值

$$A\vec{v}=\lambda \vec{v}$$
那么称$\lambda$是$A$的特征值，$\vec{v}$是$A$的特征向量

显然可以得到
$$A\vec{v}=(\lambda I)\vec{v}$$
$$(A-\lambda I)\vec{v}=\vec{0}$$

即$|(A-\lambda I)|=0$

相似与对角化#

假设存在若干线性无关的特征向量$x_1,x_2,..,x_n$
令$Q=[x_1,x_2,...,x_n]$
那么必定存在
$$Q^{-1}AQ=D$$
D为对角矩阵(对角线上的为特征值)
然后就可以加速矩阵快速幂了 $O(n^3+nlogk)$

什么意思呢？
考虑乘$Q$代表什么，代表在原坐标系上将基向量变为特征基的一组线性变换
所以乘$Q^{-1}$表示的是将原坐标系转为以特征基作为向量基的新坐标
然后在新坐标上进行$A$变换，再把它转回原坐标

意思就是以特征基作为单位基做$A$的变换，因为前面说了向量只是缩放，所以一定是对角矩阵

然后再用特征基乘上这个对角矩阵，然后在转回原单位基即可

$A^k=Q{D}^k{Q}^{-1}$

特征多项式#

多项式计数预备知识

概率和期望

期望的线性性#

对于两个随机变量$X,Y$,有
$$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$$

多做题吧

min-max容斥#

$$E[max(S)]=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-1}E[min(T)]$$

一般定义$E[max(S)]$为把这个集合全部都经过的期望,$E[min(S)]$为第一次到这个集合到期望

然后套$\min -\max$容斥

容易发现容斥的式子是一个高维前缀和，所以可以用$FMT$优化成$O(n{2}^n)$

min,max反过来同样成立

组合计数

十二重计数法（十二试炼）#

LLA#

$$m^n$$

ULA#

方程非负整数解个数
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{m-1}\right)$$

ULB#

方程正整数解个数
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1}\right)$$

LLC#

$$m^{\frac{n}{}}$$

ULC#

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)$$

LUC#

$$[n\le m]$$

UUC#

$$[n\le m]$$

LLB#

$$S(n,m)m!$$

LUB#

$$S(n,m)$$

LUA#

$$\sum _{i=0}^{m}S(n,i)$$

UUB#

UUB#

二分图带权匹配计数#

先咕咕咕着

斯特林数

看之前写的吧

斯特林数的四种求法

斯特林数及其反演

具体数学笔记 （第六章 特殊的数）