AT2396 [ARC071D] Infinite Sequence

https://www.luogu.com.cn/problem/AT2396

不难发现，如果在一个$>1$的数后面放一个$>1$的数，那么这个序列就确定了

于是我们考虑倒过来DP

$f[i]$表示$[i,n]$的序列个数

有3种转移

• 这一位为1, $f[i]+=f[i+1]$
• 这一位和下一位填$>1$的数$f[i]+=(n-1)\ast (n-1)$
• 这一位填$k$往后的$k$位是1, $f[i]+=f[i+k+1]$

注意如果$i+k+1>n$
$f[i+k+1]=1$
容易用后缀和优化到$O(n)$

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
int n;
ll f[1000050];
int main() {
    scanf("%d", &n);
    f[n] = n;
    f[n - 1] =  1ll * n * n % mod;
    ll s = 0;
    for(int i = n - 2; i >= 1; i --) {
        f[i] = f[i + 1];
        f[i] = f[i] + 1ll * (n - 1) * (n - 1) % mod, f[i] %= mod;
        s = (s + f[i + 3]) % mod;
        f[i] = (f[i] + s) % mod;
        f[i] = (f[i] + i + 1) % mod; // i+x+1>=n   x>=n-i-1  -> n-x<=i+1
    }
    printf("%lld", f[1]);
    return 0;
}