luogu P6811 「MCOI-02」Build Battle 建筑大师
https://www.luogu.com.cn/problem/P6811
考虑建立子序列自动机，可以得到DP
f [ i ] = 1 + ∑ i + 1 ≤ j ≤ i + m f [ j ] f[i]=1+\sum_{i +1 \le j \le i+m} f[j] f[i]=1+i+1≤j≤i+m∑f[j]
答案就是 f [ 0 ] f[0] f[0]
考虑把整个DP数组反过来
f
[
i
]
=
1
+
∑
i
−
m
≤
j
≤
i
−
1
f
[
j
]
f[i]=1+\sum_{i - m \le j \le i-1} f[j]
f[i]=1+i−m≤j≤i−1∑f[j]
有个常数项感觉不太舒服，我们考虑用做差的方式去掉它
f [ i ] − f [ i − 1 ] + f [ i − 1 ] = f [ i − 1 ] − f [ i − m − 1 ] + f [ i − 1 ] = 2 f [ i − 1 ] − f [ i − m − 1 ] f[i]-f[i-1]+f[i-1]=f[i-1]-f[i-m-1]+f[i-1] \\ =2f[i-1]-f[i-m-1] f[i]−f[i−1]+f[i−1]=f[i−1]−f[i−m−1]+f[i−1]=2f[i−1]−f[i−m−1]
这个式子我们可以构造它的组合意义
一个人，向前走一步就
∗
2
*2
∗2，向前走
m
+
1
m+1
m+1步就
∗
(
−
1
)
*(-1)
∗(−1)
于是我们可以枚举
m
m
m,然后再枚举走了几个
m
+
1
m+1
m+1,通过组合数计算出方案数
这个显然是调和级数
代码实现不难
code:
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 2000050
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll qpow(ll x, ll y) {
ll ret = 1;
for(; y; y >>= 1, x = x * x % mod) if(y & 1) ret = ret * x % mod;
return ret;
}
ll fac[N], ifac[N], pw[N], ans[N];
void init(int n) {
fac[0] = pw[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod, pw[i] = pw[i - 1] * 2 % mod;
ifac[n] = qpow(fac[n], mod - 2);
for(int i = n - 1; i >= 0; i --) ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
ll C(int n, int m) {
return fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n - m] % mod;
}
int n, m, q;
int main() {
scanf("%d%d", &n, &q);
init(n);
for(int m = 1; m <= n; m ++) {
for(int i = 0; i * (m + 1) <= n; i ++) {
ll o = C(n - i * (m + 1) + i, i) * pw[n - i * (m + 1)] % mod;
if(i & 1) ans[m] = (ans[m] - o + mod) % mod;
else ans[m] = (ans[m] + o) % mod;
}
}
while(q --) {
scanf("%d", &m);
printf("%lld\n", ans[m]);
}
return 0;
}
