C Looooops(扩展欧几里得+模线性方程)

http://poj.org/problem?id=2115

题意:给出A,B,C和k(k表示变量是在k位机下的无符号整数),判断循环次数,不能终止输出"FOREVER".

即转化成 c*x = b-a mod (2^k), 解这个模线性方程的最小正整数解。

模板题,代码很短,但是很难理解的样子。。。转载了一些有关的资料。。。

 1 #include <stdio.h>
 2 #define LL long long
 3 
 4 LL Extend_Euclid(LL a,LL b,LL & x,LL & y)//扩展欧几里得
 5 {
 6     if (!b)
 7     {
 8         x = 1;
 9         y = 0;
10         return a;
11     }
12     LL ans = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);//模线性方程
13     LL t = x;
14     x = y;
15     y = t-a/b*y;
16     return ans;
17 }
18 LL modular_linear(LL a,LL b,LL n)
19 {
20     LL x,y;
21     LL d = Extend_Euclid(a,n,x,y);
22     if (b%d)
23         return -1;
24     LL e = x*(b/d)%n+n;
25     return e%(n/d);
26 }
27 int main()
28 {
29     LL A,B,C,k;
30     while(~scanf("%lld %lld %lld %lld",&A,&B,&C,&k))
31     {
32         if (!A && !B && !C && !k)
33             break;
34         LL ans = modular_linear(C,B-A,1LL<<k);
35         if (ans==-1)
36             printf("FOREVER\n");
37         else
38             printf("%lld\n",ans);
39     }
40     return 0;
41 }
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扩展欧几里德算法 线性同余方程 中国剩余定理

   (1)  欧几里德算法

  欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
  定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
  证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
  假设d是a,b的一个公约数,则有
  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
  因此d是(b,a mod b)的公约数
  假设d是(b,a mod b)的公约数,则
  d | b , d |r,但是a = kb +r
  因此d也是(a,b)的公约数
  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
  欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为:
  

        int GCD(int a,int b)

        {

               while (b!=0) { int k=b; b=a%b; a=k; }

              return a;

        }

    (2)   扩展欧几里德算法

  扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p,q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在,根据数论中的相关定理)。

     算法描述为:

        int extended_gcd(int a,int b,int &x,int &y)

        {

             int ans,t;

             if (b==0) { x=1; y=0; return a; }

             else { ans=extended_gcd(b,a%b,x,y); t=x; x=y; y=t-(a/b)*y;}

             return ans;

        }

  把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。

  可以这样思考:
  对于a' = b, b' = a % b而言,我们求得x, y使得a'x + b'y = Gcd(a', b')
  由于b' = a % b = a - a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)
  那么可以得到:
  a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
  bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
  ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
  因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是y和(x-a/b*y)。

   (3)  线性同余方程

     对于方程 a*x+b*y=n;有整数解得充分必要条件是(n %(a,b)==0),这个定理这里就不证明了,数论书上都有。

     所以方程 a*x+b*y=n;我们可以先用扩展欧几里德算法求出一组x0,y0。也就是a*x0+b*y0=(a,b);然后两边同时除以(a,b),再乘以n。这样就得到了方程a*x0*n/(a,b)+b*y0*n/(a,b)=n;我们也就找到了方程的一个解。

     还有一个定理:若(a,b)=1,且x0,y0为a*x+b*y=n的一组解,则该方程的任一解可表示为:x=x0+b*t,y=y0-a*t;且对任一整数t,皆成立。(这个证明比较简单,就不写了)

     这样我们就可以求出方程的所有解了,但实际问题中,我们往往被要求去求最小整数解,所以我们就可以将一个特解x,t=b/(a,b),x=(x%t+t)%t;就可以了。

  (4)  方程组的情形(中国剩余定理)

     对于同余方程组:

      x=a1 (mod m1);   1

      x=a2 (mod m2);    2

      方程组有一个小于m(m1,m2的最小公倍数)的非负整数解的充分必要条件是(a1-a2)%(m1,m2)==0 ,同样利用扩展欧几里德算法。

      两式联立:a1+m1*y=a2+m2*z。

      则:a1-a2=m2*z-m1*y; 这样就可以了解出z和y,则:x=a2+m2*z;  

      现在我们将其推广到一般情形:(设m1,m2,···,mk两两互素)

      x=a1(mod m1);

     x=a2(mod m2);

      ···

      x=ak(mod mk);其在M=m1*m2*···*mk;中有唯一整数解。

      记Mi=M/mi;因为(Mi,mi)=1,故有两整数pi,qi满足Mi*pi+mi*qi=1,如果记ei=Mi*pi;那么:ei=0 (mod mj),j!=i; ei=1(mod mj),j=i;

      很明显,e1*a1+e2*a2+···+ek*ak就是方程的一个解,加减M倍后就可以得到最小非负整数解了。

      如果m1,m2,···,mk不互素,那只能两个两个求了。

      x=a1 (mod m1);  

      x=a2 (mod m2);   

      解完后,a=x; m=m1和m2的最小公倍数。即可。

 

posted @ 2013-10-08 20:25  N_ll  阅读(233)  评论(0编辑  收藏  举报