第十章 定积分
\(\S10.1\)定积分概念与可积条件
吐槽：博客园的markdown编辑器实在是太渣了，Typora上显示没问题，到了这里就有些公式显示不全，我也懒得改了。以后会继续分享自己写的一些谢惠民习题册的答案，但不会这么详细了，公式打的令人心烦。
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设
\[f\left( x \right) =\begin{cases} x\left( 1-x \right) ,& x\text{是有理数}\\ 0\text{，}& x\text{是无理数}.\\ \end{cases} \]
问\(f(x)\)在\([0,1]\)上是否可积？
\(solution:\)
不可积，因为振幅无法控制。取\(\varepsilon =\frac{1}{8},\eta =\frac{\sqrt{2}}{4}\)，易知\(x\in \left[ \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4} \right]\)时，\(x\left( 1-x \right) \ge \frac{1}{8}\)，由于有理数的稠密性，无论取何分割，振幅不小于\(\varepsilon\)的子区间长度大于\(\eta\).故有可积第三充要条件知不可积.
- 设\(f,g\in R\left[ a,b \right]\)，且\(f\)值域为\([a,b]\)，问\(g\left( f\left( x \right) \right)\)在\([a,b]\)上是否可积？又若\(f,g\)在\([a,b]\)上都不可积，问\(g\left( f\left( x \right) \right)\)是否在\([a,b]\)上一定不可积？
\(solution:\)
未必.反例：\(f(x)\)为\([0,1]\)上的\(Riemann\)函数，\(g\left( x \right) =\begin{cases}1,&x\in \left( 0,1 \right]\\0,&x=0.\\\end{cases}\)
未必.反例：\(f(x),g(x)\)均为\([0,1]\)上的\(Dirichlet\)函数，\(g(f(x))=1,x\in [0,1]\).
- 讨论区间\([a,b]\)上\(f,\left| f \right|,f^2\)可积性之间的关系.
\(solution:\)
\[f\in R\left[ a,b \right] \Rightarrow f^2\in R\left[ a,b \right] \]\[f\in R\left[ a,b \right] \Rightarrow \left| f \right|\in R\left[ a,b \right] \]\[f^2\in R\left[ a,b \right] \Longleftrightarrow \left| f \right|\in R\left[ a,b \right] \]第一个式子：由可积函数的四则运算性质易得；
第二个式子：由绝对值不等式得，\(\omega _{i}^{\left| f \right|}=\underset{x_1,x_2\in \Delta _i}{sup}\left| \left| f\left( x_1 \right) \right|-\left| f\left( x_2 \right) \right| \right|\le \underset{x_1,x_2\in \Delta _i}{sup}\left| f\left( x_1 \right) -f\left( x_2 \right) \right|=\omega _{i}^{f}\).
根据可积第二充要条件可证.
第三个式子：充分性由第一个式子易得；
必要性：由\(Lebesgue\)定理及连续函数的复合仍为连续函数知\(\left| f \right|\)在\(R[a,b]\)上几乎处处连续，故可积.
- 设\(f\in R\left[ a,b \right]\)，\(g\)与\(f\)在\([a,b]\)上仅在有限个点上取不同值，证明\(g\in R\left[ a,b \right]\)，并且\(\int_a^b{f}=\int_a^b{g}\).又问若\(g\)与\(f\)在\([a,b]\)上几乎处处相等，如只在有理数点上的函数值不同，是否有相同结论？
\(solution:\)
可积性：\(\forall \varepsilon>0\),\(\exists\)分割\(T\)使得\(\sum_T{\omega _{i}^{f}\Delta _i}<\frac{\varepsilon}{2}\)，记\(M=\underset{x\in \left[ a,b \right]}{sup}g\left( x \right) ,m=\underset{x\in \left[ a,b \right]}{inf}g\left( x \right)\)，用总长度小于\(\frac {\varepsilon}{2(M-m)}\)的有限个小区间包含上述有限个点，记这些小区间为\(\Delta_1,\Delta_2,···,\Delta_m\).对分割\(T\)适当添加分点以包含\(\Delta_1,\Delta_2,···,\Delta_m\)，得到新的分割\(T^‘\)，则\(\sum_{T}{\omega _{i}^{g}\Delta _i}<\left( M-m \right) \frac{\varepsilon}{2\left( M-m \right)}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\).
相等：根据定积分的定义，$\left{ \xi _i \right} \(的选取是任意的，故只需令\)\left{ \xi _i \right}$不选取那有限个点，
令\(\lVert T \rVert \rightarrow 0,\sum_T{g\left( \xi _i \right) \Delta _i}=\sum_T{f\left( \xi _i \right) \Delta _i\rightarrow \int_a^b{f}}\)
无法得到相同结论.反例：\(Dirichlet\)函数与\(Riemann\)函数.
- 设$f\in R\left[ a,b \right] \(，且对每个\)\left( \alpha ,\beta \right) \subseteq \left[ a,b \right] ,\exists x_1,x_2\in \left( \alpha ,\beta \right)\(，使\)f\left( x_1 \right) f\left( x_2 \right) \le 0\(，问定积分\)\int_a^b{f}$的值为多少？为什么？
\(solution:\)
\(\int_a^b{f}=0\).
$\forall \varepsilon >0，\exists\delta>0,作分割T=\left{ x_0,x_1,\cdots ,x_n \right} ,x_0=a,x_n=b,\lVert T \rVert <\delta. $
\(\text{任取}\left\{ \xi _i \right\} ,\text{得|}\sum_{i=1}^n{f\left( \xi _i \right) \Delta x_i}-\int_a^b{f\left( x \right) dx}|<\varepsilon ,\ \text{由条件另取对应的}\left\{ \xi _i' \right\} ,\ |\sum_{i=1}^n{f\left( \xi _i' \right) \Delta x_i}-\int_a^b{f\left( x \right) dx}|<\varepsilon .\)
\(\sum_{i=1}^n{f\left( \xi _i' \right) \Delta x_i}\text{与}\sum_{i=1}^n{f\left( \xi _i \right) \Delta x_i}\text{符号相反或其中一个为0,故}\int_a^b{f\left( x \right) dx}=0.\)
- 设\(g\in R\left[ a,b \right]\)，若$M=\underset{x\in \left[ a,b \right]}{sup}g\left( x \right) ,m=\underset{x\in \left[ a,b \right]}{inf}g\left( x \right) \(，如果\)m<M,f\in C\left[ m,M \right]\(，证明：\)f(g(x))\in R[a,b]$.
\(solution:\)
积分第三充要条件易得.
- 设$f\in R\left[ a,b \right] \(，且\)\frac{1}{f}\(在\)[a,b]\(上有界，证明\)\frac{1}{f}\in R[a,b]$.
\(solution:\)
由\(Lebesgue\)定理易得.
- 设\(f\)在\([a,b]\)上有界，其所有间断点构成一个收敛数列，证明\(f\in R\left[ a,b \right]\).
\(solution:\)
由\(Lebesgue\)定理易得.
- 设\(f\)在区间\([a,b]\)上每一点的极限都存在且为0，证明$f\in R\left[ a,b \right] \(且\)\int_a^b{f}=0$.
\(solution:\)
可积性：考虑\(Lebesgue\)定理，只要证明\(f\)全体不连续点构成的集合为可数集。已知\(\forall x\in \left[ a,b \right] ,\underset{y\longrightarrow x}{\lim}f\left( y \right) =0\)，故\(f\)只有第二类间断点。根据实变函数中的结论：设\(f(x)\)为定义在\(\Re\)上的实值函数，则点集\(\{x\in \Re :f\left( x \right) \text{在点}x\text{处不连续，但右极限}f\left( x+0 \right) \text{存在\}}\)是可数集，得证.
也可考虑有限覆盖定理.
积分值：对\([a,b]\)作分割\(T=\left\{ x_0,x_1,\cdots ,x_n \right\} ,x_0=a,x_n=b\).
易知\(\forall \varepsilon >0,\exists \delta _i>0,0<x-x_i<\delta =\min \left\{ \delta _1,\cdots ,\delta _{n-1} \right\} ,|f\left( x \right) |<\frac{\varepsilon}{b-a},i=0,,\cdots ,n-1.\)取\(\xi_i\in(x_i,x_{i+1})\) ,有
\(|\sum_T{f\left( \xi _i \right) \Delta _i}|\le \frac{\varepsilon}{b-a}\left( b-a \right) =\varepsilon\).
- 证明\(Riemann\)函数在每个区间\([a,b]\)上可积
\(solution:\)
积分第三充要条件或考虑课本上[0,1]的证明.
- 对连续函数，能否如下定义定积分：如果\(f\in C[a,b]\)且存在实数\(I\)，使\(\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n{f\left( a+\frac{i}{n}\left( b-a \right) \right) =I}\)，且$f\in R\left[ a,b \right] \(且\)\int_a^b{f}=I$.
\(solution:\)
这是一个显然的结论，有点无法领会该题的用意。
- 设\(f,g\in R\left[ a,b \right]\)，\(P=\left\{ x_0,x_1,···\left. ,x_n \right\} \right.\)使\([a,b]\)的一个分割，证明：\(\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0\)，使对于满足\(\lVert P \rVert <\delta\)的任意分割\(P\)，成立\(\left| \sum_{k=1}^n{f\left( x_k \right) \sin \left( g\left( x_k \right) \Delta x_k \right) -\int_a^b{f\left( x \right) g\left( x \right) dx}} \right|<\varepsilon\).
\(solution:\)
直观地想，\(\sin \left( g\left( x_k \right) \Delta x_k \right) ~g\left( x_k \right) \Delta x_k\ \ \ \left( \lVert P \rVert \rightarrow 0 \right)\)，故问题可尝试从此处处理.
\(\forall \varepsilon >0,\exists \delta _1>0,\text{对于任意分割}P,\,\,\text{满足}\lVert P \rVert <\delta _1,\,\,\text{任取\{}\xi _k\},\,\,\text{有|}\sum_{k=1}^n{f\left( x_k \right) g\left( x_k \right) \Delta x_k}-\int_a^b{f\left( x \right) g\left( x \right) dx}|<\frac{\varepsilon}{2}.\)
\(\text{记}I=\int_a^b{|f\left( x \right) ||g\left( x \right) |dx},\forall \varepsilon \left( \varepsilon <I \right) >0,\exists \delta _1>0,\text{对于任意分割}P,\,\,\text{满足}\lVert P \rVert <\delta _1,\,\,\text{任取\{}\xi _k\},\,\,\text{有|}\sum_{k=1}^n{f\left( x_k \right) g\left( x_k \right) \Delta x_k}-\int_a^b{f\left( x \right) g\left( x \right) dx}|<\frac{\varepsilon}{2}.\)
\(\exists \delta _2>0,\lVert P \rVert <\delta _2\text{时,任取\{}\xi _k\},\ \ |\sum_{k=1}^n{|f\left( x_k \right) ||g\left( x_k \right) |\Delta x_k}-I|<\varepsilon .\)
\(\ \text{由}\frac{\sin x-x}{x}\rightarrow 0\ \ \left( x\rightarrow 0 \right) \text{知, 对于上述}\varepsilon ,\ \exists \delta _3>0,\lVert P \rVert <\delta _3\text{时（注意}g\text{是有界的）,|}\sin \left( g\left( x_k \right) \Delta x_k \right) -g\left( x_k \right) \Delta x_k|<\frac{\varepsilon}{4I}|g\left( x_k \right) |\Delta x_k.\)
\(|\sum_{k=1}^n{f\left( x_k \right) \left[ \sin \left( g\left( x_k \right) \Delta x_k \right) -g\left( x_k \right) \Delta x_k \right]}|<\frac{\varepsilon}{4I}\sum_{k=1}^n{|f\left( x_k \right) |}|g\left( x_k \right) |\Delta x_k<\frac{\varepsilon}{2}.\)
$\text{取}\delta =\min_{i=1,2,3}\left{ \delta _i \right} ,$剩下易得.
