浅谈分支限界算法

1. 定义：

       分支限界算法是按照广度优先的方式对解空间树（状态空间树）进行搜索，从而求得最优解的算法。在搜索的过程中，采用限界函数（bound function）估算所有子节点的目标函数的可能取值，从而选择使目标函数取极值（极大值或者极小值）的节点作为扩展结点（如果限界值没有超过目前的最优解，则剪枝）进行下一步搜索（重复 BFS -> 计算所有子节点限界 -> 选择最优子节点作为扩展结点的过程），从而不断调整搜索的方向，尽快找到问题的最优解。

（ps：回溯算法求出满足约束的所有可行解，分支限界求出满足约束的解中使得目标函数达到极值的最优解）

      分支限界的思想类似于：图的广度优先搜索，树的层序遍历。

 

 

2. 分支限界算法和回溯算法的不同点：

  （1）分支限界算法与回溯算法在子结点的扩展方式上不同：

        回溯一般采用轮流遍历子节点的方式扩展结点。

        分支限界则采用活结点的方式，一次性对所有的可行子节点进行扩展，估算子节点目标函数的可能值，如果该子节点的目标函数值差于当前最优解，则丢弃；否则将其加入活叶子表，依次从表中选取使目标函数取极值的节点作为当前的扩展结点。重复这一过程，直到找到最优解。

  （2）分支限界算法与回溯算法在解空间树的搜索方式上不同：

        回溯采用深度优先搜索的方式去搜索解空间树。搜索过程中，对所有的子节点轮流进行深度优先搜索，一旦发现有不满足约束的子节点，则对该子节点为根的子树进行剪枝；否则就从该子节点深度优先搜索，直到搜索到一个满足约束条件的叶子节点，即求得一个可行解。

        分支限界采用广度优先搜索的方式去搜索解空间树。搜索过程中，先生成所有的子节点（分支），然后对所有分支计算一个函数值（限界），并根据这些函数值（计算出的上界或者下界），从中选择一个使目标函数最优（限界最优）的子节点作为扩展结点，使得搜索朝着最优解的方向快速推进，从而很快求得一个最优解。（ps：我的理解是每次从所有子节点中找出一个最有潜力的，作为扩展结点进行下一次的BFS）

 

 

3. 分支限界算法的一般步骤：

      （1）将问题的解空间转化为图或者树的结构表示，维护一张活叶子表（可以是优先队列）。

      （2）初始将根节点计算一个限界后加入活叶子表。

      （3）当活叶子表不为空时，从活叶子表中取出一个限界最优的结点作为扩展结点，并将该节点去除出表。当活结点表为空时，算法结束。

      （4）判断当前的扩展结点是否可以满足所有约束，并且得到一个可行解（该扩展结点是叶子节点）。

             如果是，判断优于当前最优解后，记录并更新最优解，随后将当前最优解与所有活叶子节点的限界做比较，对于限界差于最优解的活叶子结点，去除出活叶子表，并返回（3）。

             如果不是，则进入（5）。

      （5）计算扩展结点的所有子节点是否满足约束条件，对于不满足约束条件的子节点，将以该节点为根的子树剪枝（丢弃）。

      （6）根据限界函数，计算该节点满足约束的所有子节点的限界。对于限界差于当前最优解的子节点（ps：废了，没潜力），将以该子节点为根的子树丢弃；对于限界优于当前最优解的子节点（ps：还有潜力），将这些潜力节点作为活叶子结点添加到活叶子表，并返回（3）

             （ps：对于上述步骤的推导，参考了《算法分析与设计基础》12.2 分支限界法 ）

 

 

4. 分支限界算法应用的难点：

      （1）解空间的构造，即状态空间树的构造方法（节点的生成顺序）

      （2）剪枝函数的确定，即约束规则的确定

      （3）限界函数的确定，边界的评估方法

 

至于程序示例，最近有点忙，抽空写。