浅谈回溯算法

1.定义：

       回溯算法是一种在穷举查找基础上的增强变形。主要是在尝试搜索的过程中，每次只构造解的一个分量，当发现部分构造解满足求解条件时，就接受下一个分量所做的第一个合法选择；当发现部分构造解不满足求解条件时，就回溯返回，尝试另外的路径。这种走不通就回头的算法称为回溯算法。

       主要思想：通过对所做的选择构造一颗状态空间树，按照深度优先的策略，从根开始深度搜索状态空间树。当搜索到某一结点，先判断该节点是否可以构成完整解，如果可以就继续向下搜索；否则就逐层返回回溯，尝试其他路径。（隐式图的深度优先搜索）

       核心思想：个人以为，回溯法的核心是状态空间树的构造（可能是隐式构造的），一旦确立了状态空间树，就可以直接得出问题的解。状态空间树的构造思想是：按照深度优先的方式，如果当前节点的下一个分量所构造的部分解可以导致完整解，就生成节点的子女，并添加下一个分量的第一个合法选择；否则就回溯到该节点的父母，考虑部分解的下一个分量选择。

 

2.回溯算法的一般步骤（解决某些约束下的最优解）：

       （1）确定问题的解空间（包含所有解的一颗状态空间树），确定完全解的形式，以及部分构造解无法构成完全解的剪枝规则。（ ps：问题的解空间（状态空间树）是在DFS的过程中动态生成的）

       （2）确定节点（分量）的扩展规则，即下一个节点的选择规则。 （ps：如曼哈顿问题中，按照字母顺序选择下一个分量）

       （3）以深度优先的方式搜索解空间，并在搜索的过程中用剪枝函数判断该节点是否可以生成完全解。如果可以，则进入该节点的子树下一步搜索（构造下一个分量）；如果不能，则跳过该节点的子树（不再生成下一个分量），逐层回溯。（ps：剪枝函数包括约束函数和界限函数，分别剪去不满足约束的节点和不能得到最优解的函数）

                         

3.回溯的算法框架：

（1）递归的方式：

int x[n];
void backtrack(int t)
{
    if(t>n)              //到达叶子节点，输出结果，x是可行解
        output(x);
    else
    {
        for i = 1 to k   //该节点的子节点（分量的所有下一个分量）
        {
            x[t] = value(i);    //取出子节点的值
            if(constraint(t) && bount(t) )    //剪枝函数：判断约束和界限
                backtrack(t+1);    //可以生成完全解，继续递归下去
        }
    }
}

   特点：思路简单，设计简单，但算法时间效率很差。

    

（2）递推的方式：

void backtrack()
{
    int t=1;
    while(t>0)
    {
        if(existSubNode(t))    //存在子节点：该结点还有可以构造的节点（下一个分量）
        {
            for i = 1 to k
            {
                x[t] = value(i);    //相当于在此处建立一个结点
                if(constraint(t) && bount(t) )    //剪枝函数判断约束和界限
                {
                    if(isResult(t) )    //得到了一个结果，输出
                        output(x);
                    else                //还没有得到结果，继续向下搜索
                        t++;
                }
                else
                {
                    eraseSubNode(t) //该结点无法构成完全解，故删去该结点,并设该结点不可再作为子节点。
                }
            }
        }
        else
        {
            eraseSubNode(t);    //该结点没有子结点，也不能完全解，所以删去该结点。
            t--;                //进行回溯
        }    
    }
}

特点：设计复杂，但算法时间效率很高。

 

4.用回溯的思想实现背包问题：

        用回溯算法解决01背包问题，步骤：

        （1）问题的解空间是子集树，节点表示前 t 个物品的存放状态，树枝的值表示第 t 个物品有没有放入背包。完全解的形式是01组成的N个数，避免无法构造完全解的约束剪枝规则是：当前背包的物品重量CurWeight加新增的物品重量不能超过背包的承重C（CurWeight+w[t]<C）。

            当物品数为3时，解空间（状态空间树）如下：

　　　　　　　　

        （2）节点扩展规则：数字递增顺序，也就是说第t个物品放入背包和没有放入背包的状态，即 0 和 1.

        （3）回溯搜索：如果搜索到叶子节点，表示一条路径搜索结束，如果存在更优解则记录。

                              如果没有搜索到叶子节点，则遍历其子节点，满足剪枝条件时继续向下搜索，不满足时回溯。

#include <iostream>
using namespace std;
#define N  4                     //物品总数
#define C  5                     //背包的承重
int w[N] = {2,1,3,2};           //物品重量
int v[N] = {12,10,20,15};     //物品价值
int CurWeight = 0;            //当前总重量
int CurValue = 0;               //当前总价值
int x[N] ={0,0,0};                 //当前的背包选取情况（1表示选取，0表示不选取）
int MaxValue = 0;              //最大价值
int MaxPack[N] = {0,0,0};     //最大价值下的背包选取情况（1表示选取，0表示不选取）
void backtrack(int t)
{
    if(t >= N)    //到达叶子处，说明已经求得一个满足约束的完全解，接下来判断是否最优
    {
        if(CurValue > MaxValue)
        {
            MaxValue = CurValue;
            for(int i=0;i<N;i++)
                MaxPack[i] = x[i];
        }
    }
    else    //没到叶子处，还要继续向下搜索下去
    {
        for(int i=0;i<=1;i++)
        {
            x[t] = i;            //01背包问题中，每个物品的存放状态是 0 或 1。此处表示第 t 个物品在背包中的状态为 0 或 1。
            if(x[t] == 0)     //第 t 个物品没有放入背包，不进行剪枝判断
            {
                backtrack(t+1);     
            }
            else            //第 t 个物品放入背包，要进行剪枝判断
            {
                if(CurWeight + w[t] <= C)    //剪枝判断为满足约束条件
                {
                    CurWeight += w[t];   //当前结点满足约束，则增加结点的值到当前值中
                    CurValue += v[t];
                    backtrack(t+1);          //继续向下搜索
                    CurWeight -= w[t];    //为了回溯到父节点的状态，要将子节点新增的内容删掉
                    CurValue -= v[t];
                }    
            }
        }
    }
}

int main()
{
    backtrack(0);
    cout<<"the max value pack combination: ";
    for(int i=0; i<N; i++)
        cout<<MaxPack[i]<<" ";
    cout<<"\nthe max value: "<<MaxValue<<endl;
}