一、动图演示
二、思路分析
先来了解下堆的相关概念：堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：
同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子
该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：
大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
了解了这些定义。接下来看看堆排序的基本思想及基本步骤：
堆排序基本思想及步骤
堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了
步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。
a.假设给定无序序列结构如下
2.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。
4.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。
这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。
此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。
步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。
a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换
b.重新调整结构，使其继续满足堆定义
c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.
后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序
再简单总结下堆排序的基本思路：
a.将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;
b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;
c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。
三、复杂度分析
1. 时间复杂度：堆排序是一种选择排序，整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为O(n)，在交换并重建堆的过程中，需交换n-1次，而重建堆的过程中，根据完全二叉树的性质，[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步递减，近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度最好和最坏情况下都是O(nlogn)级。
2. 空间复杂度：堆排序不要任何辅助数组，只需要一个辅助变量，所占空间是常数与n无关，所以空间复杂度为O(1)。
四、Java 代码如下
import java.util.Arrays; public class Main{ public static void main(String[] args) { int[] arr = new int[]{4,6,8,5,9}; int length = arr.length; //从最后一个非叶节点开始构建大顶堆 for (int i = arr.length/2-1; i >=0; i--) { maximumHeap(i,arr,length); } //从最小的叶子节点开始与根节点进行交换并重新构建大顶堆 for (int i = arr.length-1; i >=0; i--) { // System.out.println(Arrays.toString(arr)); swap(arr,0,i); length--; maximumHeap(0,arr,length); } System.out.println(Arrays.toString(arr)); } //构建大顶堆 public static void maximumHeap(int i,int[] arr,int length){ int temp = arr[i]; for (int j = i*2+1; j < length; j=j*2+1) { //如果右孩子大于做孩子，则指向右孩子 if(j+1<length && arr[j+1]>arr[j]){ j++; } //如果最大的孩子大于当前节点，则将大孩子赋给当前节点，修改当前节点为其大孩子节点，再向下走。 if(arr[j]>temp){ arr[i] = arr[j]; i = j; }else{ break; } } //将temp放到最终位置 arr[i] = temp; } //交换 public static void swap(int[] arr,int i,int j){ int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; } }
