摄像机的几何模型

一、欧式解析几何基础

1.相关概念

    点O以及三个互相垂直的单位向量i,j,k构成的四元组（O,i,j,k）定义一个正交坐标系F

    右手坐标系是指i,j,k分别对应右手的手指：拇指向上，食指向前，中指向左

    点P（x,y,z）定义为向量OP在i,j,k方向上的投影；P=(x,y,z)^T称为P在F中的坐标向量

    平面可以由平面上任一点和其法向量确定

    平面方程可以写为：∏·P=0，其中∏=(a,b,c,-d)^T，P=(x,y,z,1)^T；∏和P为齐次坐标

    二次曲面的通用表示：P^TQP，其中Q是对应的系数矩阵

2.刚体变换

    有坐标系A和坐标系B，讨论的是点P在两个坐标系中表达式的转换方式

    i.纯平移（Pure translation）

        ^BP=^BO_A+^AP

        其含义是P在坐标系B中的坐标等于P在坐标系A中的坐标加上一个平移向量，这个平移向量正好等于A的原点坐标在坐标系B中的坐标

    ii.纯旋转（Pure rotation）

         ^BP=^B_AR^AP

        其含义是P在坐标系B中的坐标等于旋转矩阵^B_AR乘以P在坐标系A中的坐标

        ^A_BR=^B_AR^T

    iii.刚体变换（Rigid Transformations）

         ^BP=^B_AR^AP+^BO_A

        用齐次坐标表示为(^BP,1)^T=^B_AT(^AP,1)^T，其中^B_AT=(^B_AR ^BO_A)

                                                                         (0^T      1  )

        类似的，坐标系F上点到点映射表示为(^FP',1)^T=(sR   t)

                                                                   (0^T    1)

        将旋转矩阵R换成一个非奇异矩阵A，就是一个仿射变换（affine transform）

        将T换成一个非奇异矩阵，就是一个投影变换（projective transform）

二、摄像机参数

参数表示的是摄像机坐标系和世界坐标系的关系

1.内参数

    摄像机坐标系和归一化坐标系（idealized coordinate system）的关联参数

    i.归一化坐标平面

        归一化坐标平面指的是平行于物理成像平面且和针孔距离为单位长度的平面

        原点为平面与光轴的交点

        点P（x,y,z）是物理世界平面上的一点，投影在归一化坐标平面上是P'（x',y'）,其中x'=x/z,y'=y/z;对应的齐次坐标为（x',y',1）^T

    ii.物理成像平面

        物理成像平面指的是摄像机的成像平面，与针孔的距离为焦距（focus）f≠1，单位为像素

        因为物理成像平面通常为矩形，所以P在其上的投影P''为（u,v），其中u=kfx/z,v=lfy/z；k、l为两个参数

        原点为平面的一角，所以需要一个平移向量（u₀，v₀）将上式改为u=kfx/z+u₀,v=lfy/z+v₀

        又因为制造误差，摄像机的坐标系会出现偏差（不完全垂直），上式将改为u=kfx/z-kfy/zcotθ+u_{0，v=lfy/z（1/sinθ）+v0}

        P''=KP'，其中K=（kf    -kfcotθ    u₀）

                              （0      lf/sinθ     v₀）

                              （0         0          1）

        p'' = 1/z(K 0)P

2.外参数

    摄像机坐标系C和世界坐标系W的关系

    (CP,1)T=(^C_WR    ^CO_W)(^WP,1)T

                 (  0^T          1  )

    p''= 1/z_CMP，其中M=K(R,t)其中R是一个旋转矩阵，t是平移向量

    这里可以理解为在摄像机坐标系C中，成像平面上的点P''的坐标

3.透视投影矩阵

    投影矩阵可以用5个内参数和6个外参数表示，公式就不写了

    投影的u、v方向不一定要垂直

    当θ=π/2时，透视投影矩阵M为无偏歪透视投影矩阵（zero-skew perspective projection matrix）；

    当θ=π/2且k=l时，透视投影矩阵M为无偏歪单位长宽比透视投影矩阵（zero-skew perspective projection matrix）

    定理1 设M=（A   b）是一个3 × 4矩阵，用a_i^T=(i = 1,2,3)表示由A的最左边3列构成的矩阵M的各行

        M是透视投影矩阵的充要条件是Det（A）≠ 0；

        M是无偏歪透视投影矩阵的充要条件是Det（A）≠ 0且（a₁ × a₃）·（a₂ × a₃）=0；

        M是无偏歪单位长宽比透视投影矩阵的充要条件是Det（A）≠ 0且（a₁ × a₃）·（a₂ × a₃）=0且（a₁ × a₃）·（a₁ × a₃）=（a₂ × a₃）·（a₂ × a₃）；