[ABC318E] Sandwiches 题解

[ABC318E] Sandwiches 题解

题意简述

   给定包含 $n$ 个整数的序列 $a$，其中任意元素的值 $a_i\in [1,n]$，统计包含三个元素的满足以下条件有序三元组数量：满足下标严格递增；满足第一个和最后一个元素相等，而中间的元素和两端的元素不相等。

   记录三元组 $(a_i,a_j,a_k)$，即 $1\le i<j<k\le n,a_i=a_k\ne a_j$。

思路分析

   看到统计三元组就想到了扫描线。我们以 $k$ 为扫描线，统计在 $k$ 左侧的满足条件的三元组。

   我们先观察到 $a_i=a_k$ 是个比较严格的条件限制，于是我们可以 $n$ 个 vector 维护每种数组的对应下标。现在我们画一张图：

   我们令当前扫描线位置为 $t$，所有 和 $a_t$ 数字相同的，在 $t$ 左侧的元素，下标为 ${idx}_i$。那么除了这些元素，剩下的元素数字一定和 $a_t$ 不同。我们统计每对 ${idx}_i$ 到 $t$ 之间（假设之前共有 $m$ 个，$i\in [1,m]$），和 $a_t$ 数字不同的元素个数，在加和即可。注意要减掉区间中间，包含的数字等于 $a_t$ 的元素数量，当然这个可以通过 $i$ 算出来。

   我们可以发现：

$$\begin{gathered} {idx}_1\text{的贡献：}t-id{x}_1-2-1 \\ {idx}_2\text{的贡献：}t-id{x}_2-1-1 \\ {idx}_3\text{的贡献：}t-id{x}_3-0-1 \\ \dots \\ {idx}_i\text{的贡献：}t-id{x}_i-(m-i)-1 \end{gathered}$$

   根据等差数列等相关知识，不难得出：

$$$$

$$\begin{array}{rl}\text{总贡献}& =m\times t-\sum _i{idx}_i-m\times 1-\frac{(m-1)m}{2}\\ & =m(t-1)-\frac{(m-1)m}{2}-\sum _i{idx}_i\end{array}$$

   于是，我们甚至不用维护下标具体在哪里。我们只需要维护对于当前，之前下标的总和，和之前的下标总个数。计算完答案，在把当前的加入更新即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 3e5 + 5;

LL sumidx[N];
LL cntidx[N];

LL a[N];
LL n;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		cin >> a[i];
	}
	LL ans = 0;
	for(LL i = 1;i <= n;i++)
	{
		ans += cntidx[a[i]]*(i-1ll) - sumidx[a[i]] - (cntidx[a[i]]-1)*cntidx[a[i]]/2ll;
		cntidx[a[i]]++;
		sumidx[a[i]] += i;
	}
	cout << ans << "\n";
	return 0;
}