1007练习赛
T1：自描述序列 NKOJ8660
序列： 1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,1,1,2,2,1，... 我们把相邻的数字合并： 1,22,11,2,1,22,1,22,11,2,11,22,1，... 再将每组替换为组内数字的个数，可以得到： 1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1，... 可以发现，这就是原序列，因此，这个序列可以无限生成下去。 求序列第n项。 数据范围： 1<=T<=10; 1<=n<=10^7
是一道找规律题，可以处理出1,2,1,2...中每个的个数。
可以知道，最多第6666661个1,2就能达到107
#include<stdio.h> #include<algorithm> using namespace std; #define re register int using namespace std; int sum[7000000], num[7000000]; signed main() { int rk=4, t=1; sum[1]=1;sum[2]=5; num[1]=1;num[2]=3; for(re i=3;i<=6666661;++i){ while(sum[t]<rk)t++; int k=(t&1)?1:2;rk+=k; num[i]=num[i-1]+k; sum[i]=sum[i-1]+((i&1)?1:2)*k; } int T;scanf("%d",&T); while(T--){ int x;scanf("%d",&x); int t=lower_bound(num+1, num+6666662, x)-num; printf("%d\n",(t&1)?1:2); }return 0; }
T2：极限 NKOJ8661
函数f(x)的定义域和值域都是Zn+={1,2，...，n}。
定义fk(x)=f(fk-1(x))，特殊的f1(x)=f(x)。
x的平均能量记作：
g(x)=1/k*(sigma(i=1,i<=k)fi(x)), k趋近于无穷大
求g(1),g(2),...,g(n)。
数据范围：
1<=n<=10^5; 1<=f(i)<=n。
由于每个i都对应唯一一个f(i)，所以可以连边，画图画出基环树森林(这样好理解一些)，至于求的g(x)，就是环中的总值除以环中节点个数。
建议：分析不出来时，先用简单点的数据推，例如f(i)是1~n的排列，可以很容易推出环，然后再从排列推到一般。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define re register int #define LL long long using namespace std; inline LL gcd(const LL x,const LL y){return y==0?x:gcd(y,x%y);} const int N=2e6+6; int tt,las[N],ed[N],nt[N]; inline void add(const int x, const int y){ed[++tt]=y;nt[tt]=las[x];las[x]=tt;} int vis[N],mk[N],lp[N],st,cnt,scc,book[N],fa[N];LL sum[N],num[N]; inline bool dfs(const int x){ if(vis[x]==1){vis[x]=2,mk[x]=1,lp[++cnt]=x,sum[scc]+=x;return 1;} vis[x]=1; if(fa[x]&&dfs(fa[x])){ if(vis[x]!=2)lp[++cnt]=x,sum[scc]+=x,mk[x]=1; else return 0; return 1; }return 0; } inline void DFS(const int x,const int bl){ book[x]=bl;mk[x]=1; for(re i=las[x];i;i=nt[i]) if(!mk[ed[i]])DFS(ed[i],bl); } inline void getloop(const int x){ st=cnt+1;scc++;dfs(x); num[scc]=cnt-st+1; for(re i=st;i<=cnt;++i) DFS(lp[i],scc); } signed main() { int n;scanf("%d",&n); for(re i=1;i<=n;++i){ int x;scanf("%d",&x); add(x, i);fa[i]=x; } for(re i=1;i<=n;++i)if(!mk[i])getloop(i); for(re i=1;i<=n;++i){ int t=book[i];LL a=sum[t],b=num[t],g=gcd(a,b); printf("%lld/%lld\n", a/g, b/g); }return 0; }
这里的getloop(x)，也就是我写基环树找环的方法，dfs加上打标记vis，可以判环以及按顺序放进数组lp中，很方便
T3 最大三角形 NKOJ8662
有n个木棍，长度分别为ai。 q次询问，求仅使用区间[l,r]中的木棍，且每根木棍只能使用一次，能够组成的三角形中周长最大是多少，若无法组成三角形，输出-1。 数据范围： 1<=n, q<=10^5； 1<=ai<=10^9; 1<=li<=ri<=n。
我们先分析无法组成三角形的情况。
一段区间都无法组成三角形，那么斐波那契数列是能够形成的最长的区间，最长只有44位。
然后我们来想怎么构成三角形。
有一个很显然的贪心，我们可以每次选择最长的三根木棍，看能否构成三角形，若不行，则选择次三大，以此类推。
简单分析一下：
当前最长的三个，由大到小依次为a,b,c。
若a,b的组成有解，那么选c肯定可以。
如果选a有解，那么选b肯定可以。
我们确定了大致思路：在一段区间内，看最大的三个，若不行，找次大的三个，以此类推。
复杂度呢？如果我们用主席树来找第k大，看起来复杂度为O(nqlogn)，但实际上我们找第k大不会找超过44次。
也就是说，数据不可能构造出需要找最值次数超过44次的，我们的复杂度因此变为O(44*n*logn)，且远远跑不满。
还有一种方法，就是线段树维护区间的前44个最大值，但这样我们需要像归并排序一样在线段树中维护，复杂度是严格的O(44*n*logn)，要慢上亿点。
注意主席树前要离散化，输出答案的时候要记得答案不是离散化的东西，而是原数......
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define re register int #define LL long long const int N=1e6+6; int seg, root[N]; struct segment{int a, b, v, ls, rs;}tr[N<<2]; inline int build(int l, int r) { int p=++seg; tr[p].a=l;tr[p].b=r; if(l!=r) { int mid=(l+r)>>1; tr[p].ls=build(l,mid); tr[p].rs=build(mid+1,r); } return p; } inline int merge(int pre, int t) { int p=++seg; tr[p]=tr[pre];tr[p].v=tr[pre].v+1; if(tr[p].a<tr[p].b) { int mid=(tr[p].a+tr[p].b)>>1; if(t<=mid)tr[p].ls=merge(tr[pre].ls,t); else tr[p].rs=merge(tr[pre].rs,t); } return p; } inline int query(int p1, int p2, int k) { if(tr[p1].a==tr[p1].b)return tr[p1].a; int t=tr[tr[p2].rs].v-tr[tr[p1].rs].v; if(k<=t) return query(tr[p1].rs, tr[p2].rs, k); else return query(tr[p1].ls, tr[p2].ls, k-t); } int A[N], B[N]; signed main() { int n, q; scanf("%d%d",&n,&q); for(re i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&A[i]),B[i]=A[i]; sort(B+1,B+1+n); int cnt=unique(B+1,B+1+n)-B-1; for(re i=1;i<=n;++i)A[i]=lower_bound(B+1,B+1+cnt,A[i])-B; root[0]=build(1,cnt); for(re i=1;i<=n;++i)root[i]=merge(root[i-1],A[i]); while(q--) { int l,r,s; scanf("%d%d",&l,&r); s=r-l+1; int p1=root[l-1], p2=root[r], t=3; LL a=B[query(p1, p2, 1)]; LL b=B[query(p1, p2, 2)]; while(t<=s) { LL c=B[query(p1, p2, t)]; if(a<b+c){ printf("%lld\n", a+b+c); break; } a=b;b=c;t++; } if(t>s)puts("-1"); } return 0; }
T4 彩色的树 NKOJ8663
一棵n个节点的树，每个节点都有对应的颜色ci。 记f(x,y)为x节点到y节点的最短路径上经过节点的颜色种类数，求： sigma f(i,j)，1<=i<=n&&i+1<=j<=n 数据范围： 1<=n<=2*10^5; 1<=ci<=n。
乱搞题，拿一个sum[c]记录之前已经讨论颜色c的区域，将这段去掉即可。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define re register int #define LL long long const int N=1e6+6; int tt,las[N],ed[N],nt[N]; inline void add(int x,int y){ed[++tt]=y;nt[tt]=las[x];las[x]=tt;} int sum[N],co[N],sz[N],n; LL Ans; inline void DFS(int x,int fa) { const int col=co[x]; int lst=sum[col],s=1; sz[x]=1; for(re i=las[x];i;i=nt[i]) { int v=ed[i]; if(v==fa)continue; int tmp=sum[col]; DFS(v,x);sz[x]+=sz[v]; tmp=sz[v]-(sum[col]-tmp); Ans+=1ll*tmp*s;s+=tmp; } int t1=sz[x]-(sum[col]-lst); int t2=n-sz[x]-lst; Ans+=1ll*t2*t1; sum[col]=lst+sz[x]; } signed main() { scanf("%d",&n); for(re i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&co[i]); for(re i=1;i<n;++i) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); add(x,y); add(y,x); } DFS(1,0); printf("%lld\n",Ans); return 0; }
