2022 年 6月随笔档案 - Kzos_017

摘要：前言对于一类树上

d p

问题，有一个维度有关深度的时候，也许可以用长链剖分优化长链剖分优化流程首先以向下的最大深度为基础对于每个点求出重儿子在

d p

转移的时候，对于重儿子因为有一个维度是深度，那么直接利用指针

O (1)

继承自己的重儿子的信息对于轻儿子就遍历一遍最大深度暴阅读全文

posted @ 2022-06-30 14:34 Kzos_017 阅读(381) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SDOI2022

摘要：P8349 [SDOI/SXOI2022] 整数序列似乎还比较明显的根号分治？复杂度

O (n \sqrt{n})

事实上这个复杂度一开始算出来的时候感觉不太行，然后发现开了 7s ，感觉又行了阅读全文

posted @ 2022-06-29 17:54 Kzos_017 阅读(67) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4389 付公主的背包

摘要：答案显然是

\prod_{j = 1}^{n} \sum_{i \geq 0} [i

对于后面这个东西，可以收敛成

\frac{1}{1 - x^{v_{i}}}

那么答案就是

\exp (\ln (\prod_{j = 1}^{n} \frac{1}{1 - x^{v_{i}}}))

所以我阅读全文

posted @ 2022-06-28 14:13 Kzos_017 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Pollard-Rho && Miller Rabin

摘要：注意中途要开 __int128 求一个数是否为质数或者最大的质因数 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long namespace IO{ #define ll long long #define db dou 阅读全文

posted @ 2022-06-27 20:32 Kzos_017 阅读(19) 评论(0) 推荐(0) 编辑

网络流模板

摘要：ISAP： #include<bits/stdc++.h> using namespace std; namespace IO{ const int mod=998244353; #define ll long long #define db double #define FLS fflush(st 阅读全文

posted @ 2022-06-23 17:18 Kzos_017 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

联合省选 2022

摘要：（预处理器就不说了） D1t2 填树感觉这个题目还是挺难搞的，但是仍然属于套路题设

f (l, r)

表示值域为

[l, r]

的方案数那么就是

\sum f (i, i + K) - f (i + 1, i + K)

对于

f (l, r)

考虑怎么求，直接树形

d p

是 \(O(n) 阅读全文

posted @ 2022-06-21 19:30 Kzos_017 阅读(72) 评论(0) 推荐(0) 编辑

整体二分

摘要：

这个就是对于所有询问一起二分答案。一般的格式是 solve(值域，操作范围) ，表示在这个操作范围内，所有的操作都是涉及这个值域的（答案在这个值域，加减在这个值域），并且按照顺序排列。那么求解的大概的过程就是，对于当前值域二分一个答案，扫一遍，对于涉及的数值比这个二分的值小的操作就放在阅读全文

posted @ 2022-06-18 18:17 Kzos_017 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑

莫队

摘要：

对于莫队的复杂度计算，我们首先块长，然后分别分析左右端点的移动，然后就会得到一个式子，为了使这个式子最小，适当调整分块块长即可。普通莫队

对于普通莫队，一般的复杂度是

O (n \sqrt{n})

。

最优的分块方式是对于端点分块，块长为 \(\frac{ 阅读全文

posted @ 2022-06-18 18:17 Kzos_017 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CDQ 分治

摘要：总结偏序问题 1D 动态规划优化动态问题转为静态问题

所有的这些都离不开一个精髓，就是分治处理：先处理左边区间，然后处理左边区间对右边区间的贡献，然后处理右边区间。（后面两项处理根据具体应用调整操作顺序）

对于偏序问题一般的就是三维偏序，要注意的是一边算贡献，一边作排阅读全文

posted @ 2022-06-18 18:16 Kzos_017 阅读(46) 评论(0) 推荐(0) 编辑

01 分数规划

摘要：总结

01分数规划的基本题目套路是这么一个式子

\sum \frac{w_{i} a_{i}}{w_{i} b_{i}}, w_{i} = 0 / 1

也就是对于每一组问题取或不取，最好希望分数最大/小化

一般采用的都是二分的方法，也就是会套一个

l o g

，然后对于这个值贪阅读全文

posted @ 2022-06-18 18:15 Kzos_017 阅读(84) 评论(0) 推荐(0) 编辑

模拟退火

摘要：总结

模拟退火的基本思路就是，如果状态更优，那么就接受他，如果结果不更优，那么以

\frac{- Δ E}{T}, Δ E \geq 0

的概率去接受当前值。

要注意的是：接受一个不那么优的值时，不要改变全局答案和答案相关变量，仅仅改变当前相关值。阅读全文

posted @ 2022-06-18 18:14 Kzos_017 阅读(51) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LCT

摘要：

以模板题为例，P3690 【模板】动态树（Link Cut Tree），具体讲讲每个操作 #define lc c[x][0] #define rc c[x][1] const int N=3e5+10; int n,m,v[N],f[N],c[N][2],s[N],r[N],st[N 阅读全文

posted @ 2022-06-18 18:12 Kzos_017 阅读(77) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SAM 基础

摘要：SAM 的定义 SAM 是一张有向无环图。结点被称作状态，边被称作状态间的转移图存在一个源点

t_{0}

，称作初始状态，其它各结点均可从

t_{0}

出发到达每个转移都标有一些字母。从一个结点出发的所有转移均不同存在一个或多个终止状态。如果我们从初始状态

t_{0}

阅读全文

posted @ 2022-06-18 18:11 Kzos_017 阅读(172) 评论(0) 推荐(0) 编辑

容斥原理

摘要：

| ⋃_{i = 1}^{n} S_{j} | = \sum_{m = 1}^{n} (- 1)^{m + 1} | \sum_{a_{i} < a_{i + 1}} ⋂_{i = 1}^{m} S_{a_{i}} |

\[ \left| \bigcap_{i=1}^n S_i 阅读全文

posted @ 2022-06-12 14:22 Kzos_017 阅读(107) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多项式快速幂

摘要：给定一个

n - 1

次多项式

A (x)

，求一个在

mod x^{n}

意义下的多项式

B (x)

，使得

B (x) \equiv (A (x))^{k} (mod x^{n})

。多项式的系数在

mod 998244353

的意义下进行运算。 \[ 阅读全文

posted @ 2022-06-09 14:36 Kzos_017 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Min25 筛

摘要：Min25 初定义 Min25 筛可以在

O (\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n})

或

O (n^{1 - e})

的复杂度下解决一类积性函数前缀和的问题对于质数

p

，要求

f (p)

是一个关于

p

的项数较少的多项式或可以快速求值阅读全文

posted @ 2022-06-08 11:43 Kzos_017 阅读(75) 评论(0) 推荐(0) 编辑

分治 FFT

摘要：LG P4721 【模板】分治 FFT 大概的流程就是对于一个区间

[l, r]

，先求

[l, m i d]

，然后求

[l, m i d]

对于

[m i d + 1, r]

的贡献，然后求

[m i d + 1, r]

，类似于 CDQ 分治对于左区间对于右区间位置

x

的贡献阅读全文

posted @ 2022-06-06 15:14 Kzos_017 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多项式求逆

摘要：直接套牛顿迭代的式子，递归的式子就是

f (x) = f_{0} (x) (2 - h (x) f_{0} (x))

给定序列

g_{1}, . . ., g_{n}

，求

f_{0}, . . ., f_{n}

，其中

f_{i} = \sum_{j = 1}^{i} f_{i - j} g_{j}

，其中边界为

f_{0}

也就是每一项阅读全文

posted @ 2022-06-06 14:09 Kzos_017 阅读(35) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多点到根的链合并点集问题

摘要：现在有一棵树，和给定的

k

个点，我们需要维护对于给定的每个点到根的路径的信息，并且一个点只能算一次贡献首先将所有的点按照

d f s

序排序对于

1 \leq k \leq n

，

a_{i}

到根的路径全部 +1 对于

1 \leq k < n

，\(\operatorna 阅读全文

posted @ 2022-06-06 12:53 Kzos_017 阅读(32) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI2016

摘要：P1117 [NOI2016] 优秀的拆分首先一个很明确的方向就是对于每一个拆分的位置算贡献也就是对于每个位置求出前面有多少个形如 AA 的子串，求出后面有多少形如 BB 的子串，答案就是所有位置两者相乘的和而实际上前缀和后缀是一样的，无非是将子串翻转一下再做，所以考虑一种就可以了一个暴力的阅读全文

posted @ 2022-06-05 14:59 Kzos_017 阅读(31) 评论(0) 推荐(0) 编辑

回文自动机

摘要：如果不考虑空间回文自动机几乎可以替代 manacher 吧构造比较简单，就直接放代码了 const int N=1e6+10; char S[N]; int n,t[N][26],fail[N],len[N],num[N]; int tot=1,cur,last=0; inline int ge 阅读全文

posted @ 2022-06-05 13:00 Kzos_017 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

后缀数组

摘要：一些废话 SA 可以做的，SAM 也一定可以做（所以学什么 SA 啊）直到我遇到了这个题：P4051 [JSOI2007]字符加密然后 SAM 就死了，大概 SAM 遇到字符集大的问题确实是束手无策，因为空间和时间上确实会被 SA 碾压但是我是觉得应该没有出题人无聊到卡这种东西吧 SA 构造阅读全文

posted @ 2022-06-05 10:24 Kzos_017 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑

后缀自动机

摘要：（本文不适合初学者） SAM 个人认为 SAM yyds 希望有一天 SAM 能统治字符串界前置概念

endpos

集合表示一个子串在原串中出现的位置集合所有的子串通过

endpos

分成一个个等价类构造每个节点代表阅读全文

posted @ 2022-06-04 23:24 Kzos_017 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

博客索引

摘要：数据结构线段树做题记录 LCT 图论欧拉回路 LGV 引理网络流模板圆方树 DP 树形 dp 概率期望 dp 状压 dp 拉格朗日插值优化值域 dp 长链剖分优化 dp 字符串回文自动机后缀数组后缀自动机 SAM 基础数论单位根杜教筛二项式反演拉格朗日插值黎曼函数莫比乌斯阅读全文

posted @ 2022-06-04 17:53 Kzos_017 阅读(140) 评论(0) 推荐(0) 编辑

集合幂级数的一类问题

摘要：写在前面大概就是看了一些题解总结了一下得出的东西肯定有很多错误，欢迎指出目前学习的不多，希望轻喷问题引入 UOJ #310. 【UNR #2】黎明前的巧克力对于一个大小为

n

的异或为

0

的集合，有

2^{n}

种选择的方案使得选出两个集合的异或和为

0

对于阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:41 Kzos_017 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI Online 2022

摘要：LG P8251 [NOI Online 2022 提高组] 丹钓战对于每个括号预处理出向左的

p r e

,拿主席树来查询区间内

p r e < l

的个数即可 P8252 [NOI Online 2022 提高组] 讨论先考虑包含一个题目的人的集合 S ，在这个集合中是否存在两个不互相包阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:40 Kzos_017 阅读(27) 评论(0) 推荐(0) 编辑

WC2022

摘要：秃子酋长一看题面，感觉就是扫描线或者莫队扫描线似乎是不太可能，那么考虑莫队对于端点的移动，实质上就是要快速找前驱后继那么显然的莫队 + set 可以做到

n \sqrt{n \log n}

之前在 lxl 的 ppt 中其实见过这种

O (n \sqrt{n})

找前驱后继的问题，通过阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:37 Kzos_017 阅读(28) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI2021

摘要：Day1 轻重边这个题很明显就有树链剖分的感觉，但是这个路径比较难搞可以发现每一个重边一定是在一次操作 1 中的路径上的一条边，并且两个端点，没有被其他的操作 1 覆盖过那么我们为每一个端点赋一个时间值那么问题就转换成了树上的一条路径有多少对相邻且值相等的点对这个明显就可以合并信息了，那么阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:35 Kzos_017 阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI2020

摘要：Day1 美食节这个题一看就感觉是个矩乘，因为数据范围这么大还和走路有关为了保证一次只能走一格的规则，我们需要先处理这个边权这个边权

w \leq 5

太小了，考虑直接拆了最显著的拆法是将边拆成

w

段，前

w - 1

段的边权为 0 ，第

w

段的边权为 \(c_ 阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:34 Kzos_017 阅读(27) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI2019

摘要：Day1 回家路线这个题目首先显然可以建图，然后跑 DAG 上的最短路，但是边最大为

n^{2}

，但是实际上 CCF 造的数据好像很弱，所以这个方法也许能过但是建图后就和正解无缘了，建图是以位置为标准去解这道题，然而你会发现没办法优化了事实上第一眼看这个式子，很明显是个斜率优化，那么考虑阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:33 Kzos_017 阅读(23) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI2018

摘要：Day1 归程算是 Kruskal 重构树的裸题，感觉就是在卡科技知道了 Kruskal 重构树后就没什么难度了先建好重构树，那么每次询问其实就是在树上的某个点跳到深度最浅且海拔超过 p 的点所在子树中到 1 节点的最短路的最短长度那么预处理出每个点到 1 的最短路，树上每个点子树中的最短距阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:33 Kzos_017 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI2017

摘要：游戏选

a

就必须选

b

这种逻辑语言，事实上就已经很有 2-SAT 的特征了这个

d \leq 8

，那么考虑枚举每个

x

的场地类型假设现在确定了所有的场地类型，对于场地

A

，要么选

b

，要么选

c

，对于场地

B, C

同理阅读全文

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APIO2021

摘要：雨林跳跃设

X = max ([B, C - 1]), Y = max (C, D)

如果

X > Y

那么一定有解，否则一定有解可以发现越跳越高，并且跳跃一段路程时一定满足自己已经比这一段的所有树都高，才能跳过去所以最后一步跳跃一定是从一个高度为

X \leq T < Y

树跳到右边的区间中阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:31 Kzos_017 阅读(47) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOI2015

摘要：寿司晚宴这个题目和素数的数量关系很大对于 30 分，一个想法就是直接状压下质数，

d p [S_{1}] [S_{2}]

表示小 G 选了

S_{1}

，小 w 选了

S_{2}

的方案数枚举每个寿司选或不选，谁选，这个就很好转移，但是 100 分的质数就太大了，绝对是压不下来的讲实话当时我阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:31 Kzos_017 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

欧拉回路

摘要：欧拉通路：通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路欧拉回路：通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路有向图的基图忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图具有欧拉回路的无向图 G 被称为欧拉图定理无向图存在欧拉通路的充要条件是：图联通，并且只有两个奇度阅读全文

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AHOI2022

摘要：P8338 [AHOI2022] 排列首先缩环，每个环有个数量，对于有个点交换就是两个环合起来，然后求 lcm 这里需要知道一个很简单但是很重要的结论：对于

\sum a_{i} = n

，不同的

a_{i}

只会有

\sqrt{n}

的数量级所以先去重一下，然后暴力枚举，那么就是阅读全文

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LGV 引理

摘要：OIwiki 如果满足每一组不相交路径的排列都是 1,2,3,... 那么就没有逆序对，可以省略系数

(- 1)^{k}

，一般在网格图中可以满足此时只讨论图上计数问题设

e (u, v)

表示

(u, v)

的路径的个数题目特征一般是：有起点集合，终点集合起点集合和终点集合大小阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:26 Kzos_017 阅读(94) 评论(0) 推荐(0) 编辑

狄利克雷生成函数

摘要：对于无穷序列

f_{1}, f_{2}, . . .

，定义其狄利克雷生成函数为：

\tilde{F} (x) = \sum_{i \geq 1} \frac{f_{i}}{i^{x}}

（全文都是以 DGF 为基础）如果序列

f

满足积性：

\forall i ⊥ j, f_{i j} = f_{i} f_{j}

，那么其阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:26 Kzos_017 阅读(244) 评论(0) 推荐(0) 编辑

EGF

摘要：

\hat{F} (x) = \sum_{n} a_{n} \frac{x^{n}}{n!}

（全文都是以 EGF 为基础）封闭形式

\sum_{n \geq 1} \frac{x^{n}}{n!} = e^{x}

这个有关于麦克劳林级数（泰勒展开的一种特殊情况）泰勒公式若

x

在 \(x_0\ 阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:25 Kzos_017 阅读(81) 评论(0) 推荐(0) 编辑

OGF

摘要：封闭形式

1, 1, 1, 1, . . . \to F (x)

F (x) x + 1 = F (x)

F (x) = \frac{1}{1 - x}

例题

a =< 1, 2, 3, . . . >

F (x) = \sum_{n \geq 0} (n + 1) x^{n}

两边求导 \(a_n=\binom 阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:24 Kzos_017 阅读(167) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多项式 lnexp 暴力解法

摘要：设

A (x) = \exp (B (x)), B (x) = \ln (A (x))

对于两边求导

B^{'} (x) = \frac{A^{'} (x)}{A (x)}

x B^{'} (x) A (x) = x A^{'} (x)

n A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} i B_{i} A_{n - i}

\[ A(n)=\frac{ 阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:23 Kzos_017 阅读(87) 评论(0) 推荐(0) 编辑

牛顿迭代相关

摘要：OI-Wiki （具体证明等请看 OIwiki）描述给定多项式

g (x), f (x)

满足：

g (f (x)) \equiv 0 (\mod x^{n})

求出模

x^{n}

意义下的

f (x)

公式表现形式假设已经求出了模 \(x^{\lfloor \frac{n}{2 阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:23 Kzos_017 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多项式除法

摘要：Oi-Wiki 定义

f^{R} (x)

为将多项式系数颠倒后的多项式

f^{R} (x) = x^{n} f (\frac{1}{x})

多项式的除法定义见：LG P4512 【模板】多项式除法 \[ x^nf(x)=x^{n-m}Q(x)x^mg(x)+x^{n-m+1}x^{m-1}R(x 阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:17 Kzos_017 阅读(128) 评论(0) 推荐(0) 编辑

FWT

摘要：简介大概是解决形如要求

c_{i} = \sum_{j ⨁ k = i} A_{j} B_{k}

这个符号可以是或，与，异或整个的流程和 FFT 很像，先正变换成

F W T (A), F W T (B)

，然后将两者相乘，最后再逆变换具体的证明和定义和一些繁杂的过程这里就不说了，直接上结论因为阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:16 Kzos_017 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NTT

摘要：质数模数 NTT 普通 FFT 有一个很大缺点就是精度和随带的速度因为一直是在复数域，大量的 double 运算，精度的损失太大了，所以出现了 NTT （快速数论变换） NTT 的思想和 FFT 的思想是一样的，只是将原根换成了一个替代品

\to

关于模数的原根倒数的地方就是原根关于模数的逆元阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:15 Kzos_017 阅读(104) 评论(0) 推荐(0) 编辑

FFT

摘要：FFT 流程以 P1919 【模板】A*B Problem 升级版（FFT 快速傅里叶变换）为例一个数字可以看成

a_{i} \times 10^{i}

，那么把两个数字转成多项式的形式，求最后每一项的系数我们知道一个多项式可以通过

n

个系数，或者

n + 1

个点值来确定，那么阅读全文

posted @ 2022-06-04 11:10 Kzos_017 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

斯特林数

摘要：第二类斯特林数记为

{\begin{matrix} n \k \end{matrix}}

，或者

S (n, k)

表示将

n

个两两不相同的元素分成若干的非空集合的方案数递推式

S (n, k) = S (n - 1, k - 1) + k S (n - 1, k)

S (n, 0) = [n = 0]

通项公式阅读全文

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莫比乌斯变换 && lcm,gcd 卷积

摘要：原文章 zeta 变换

f ζ (n) = \sum_{d | n} f (d)

其实可以将 zeta 变换看成一个对于质因子的幂次的高位前缀和高位前缀和可以通过容斥转换成单点值，我们对于二维前缀和找找规律就可以发现

μ

函数的一个直观含义就是，如果每个因子的个数都为 0 ，那么值阅读全文

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黎曼函数

摘要：定义

ζ (x) = {\begin{cases} \frac{1}{p} & x 为 有 理 数 \frac{p}{q}, p ⊥ q, p \in N^{+}, q \in Z \\ 1 & x = 0 \\ 0 & x 为 无 理 数 \end{cases}

之所以定义

ζ (0) = 1

，这样能使阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:27 Kzos_017 阅读(755) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BSGS

摘要：BSGS 设

0 \leq A, B \leq \sqrt{p}

a^{A \sqrt{P} - B} \equiv b (\mod P) a^{A \sqrt{P}} \equiv b \times a^{B} (\mod P)

那么预处理出

b \times a^{B}

，枚举

A

看是阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:27 Kzos_017 阅读(35) 评论(0) 推荐(0) 编辑

原根

摘要：定义当

gcd (a, p) = 1

，最小的

n

使得

a^{n} \equiv 1 (\mod p)

，称为

a

模

p

的阶，

n = ξ_{p} (a)

对于

g

，如果满足

gcd (g, p) = 1, ξ_{p} (g) = φ (p)

，那么阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:25 Kzos_017 阅读(68) 评论(0) 推荐(0) 编辑

排列组合

摘要：原文章 OI-wiki 多重集对于一个集合

S = {n_{1} \times a_{1}, n_{2} \times a_{2}, . . ., n_{k} \times a_{k}}

，意思就是由

n_{i}

个

a_{i}

组成多重集组合数1 求选

r

个方案数，满足

n_{i} \leq r

答案显然阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:21 Kzos_017 阅读(86) 评论(0) 推荐(0) 编辑

筛法

摘要：筛法求约数和设

f (i)

为

i

的约数和，

g (i)

为

i

的最小的质因子的

p^{0} + p^{1} + p^{2} + . . . . + p^{k}

线性筛的时候筛到自己最小的质数，如果自己已经是这个质数的倍数，那么 \[ g(i\times p)=g(i)\times p+1\ 阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:21 Kzos_017 阅读(35) 评论(0) 推荐(0) 编辑

欧拉函数

摘要：定义

φ (n)

表示小于等于

n

的和

n

互质的数的个数比如

φ (1) = 1

当

n

为质数时

φ (n) = n - 1

\(\varphi(n)=n\prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i}),n=p_1^{c 阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:20 Kzos_017 阅读(87) 评论(0) 推荐(0) 编辑

莫比乌斯反演

摘要：莫比乌斯函数定义

μ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n 含 有 平 方 因 子 \\ (- 1)^{k} & k 为 n 的 本 质 不 同 质 因 子 个 数 \end{cases}

性质莫比乌斯函数不仅是积性函数，还有如下性质： \[ \sum_{d 阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:16 Kzos_017 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

拉格朗日插值

摘要：基础形式众所周知，由

n + 1

个点可以确定最高为

n

次多项式给定

n

个点，求这

n

个点所确定的多项式在某个点的取值，

f (k)

\[ f(k)=\sum_{i=0}^n y_i\prod_{i\neq j} \frac{k-x_j}{x_i-x_j} 阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:15 Kzos_017 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

二项式反演

摘要：第一种形式

f (n) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) g (i)

g (n) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} (\binom{n}{i}) f (i)

第二种形式

f (k) = \sum_{i = k}^{n} (\binom{i}{k}) g (i)

\[ g( 阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:14 Kzos_017 阅读(16) 评论(0) 推荐(0) 编辑

杜教筛

摘要：杜教筛是用来在非线性时间内求积性函数的前缀和前置知识积性函数（莫比乌斯函数，欧拉函数。。。）狄利克雷卷积杜教筛假设当前要求积性函数的

\sum_{i = 1}^{n} f_{i}

那么我们找一个合适的另一个积性函数

g

\[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^n( 阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:10 Kzos_017 阅读(68) 评论(0) 推荐(0) 编辑

单位根

摘要：复数中的三角函数表示假设复数

z

的模长为

l

，和

x

坐标的夹角为

α

z = l (\cos (α) + i \sin (α))

欧拉定理：

z = x + i y

e^{z} = e^{x} (\cos (y) + i \sin (y))

更阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:07 Kzos_017 阅读(491) 评论(0) 推荐(0) 编辑

树形 dp 做题记录

摘要：P3177 [HAOI2015] 树上染色考虑每一条边的贡献，就会发现这个贡献其实只和子树内的黑点的数量有关那么设

d p [u] [n u m]

表示

u

节点子树内有

n u m

个黑点的最大收益 P2607 [ZJOI2008] 骑士可以发现最后的图就是一个基环森林，考虑一颗基阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:05 Kzos_017 阅读(32) 评论(0) 推荐(0) 编辑

期望概率 dp

摘要：P4316 绿豆蛙的归宿期望就要倒推，因为如果是正推可能还要记录概率，而且感觉不正确参考代码 P1850 [NOIP2016 提高组] 换教室设

d p [i] [j] [0 / 1]

表示此时是第

i

节课，换了几次，这次换不换预处理出两个点之间的最短路就可以了 P3802 小魔女帕琪阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:05 Kzos_017 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

拉格朗日插值优化值域 dp

摘要：前言主要是我对省选 2022 D1T2 一直耿耿于怀，所以就有了这一篇文章感觉这一类题目似乎都挺套路的学习不久，肯定有很多错误，望轻喷前置知识拉格朗日插值：

f (k) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} \prod_{j \neq i} \frac{k - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

，复杂度为阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:05 Kzos_017 阅读(451) 评论(0) 推荐(1) 编辑

状压 dp 做题记录

摘要：P2704 [NOI2001] 炮兵阵地可以发现

M \leq 10

，那么考虑状压因为状态和前 2 行都有关，那么考虑状压下每两行的状态设

f [i] [S_{1}] [S_{2}]

，表示当前

i

行，当前行状态为

S_{1}

，上一行状态为

S_{2}

的方案数 P189 阅读全文

posted @ 2022-06-04 10:04 Kzos_017 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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