长链剖分优化 dp

前言

• 对于一类树上 $dp$ 问题，有一个维度有关 深度 的时候，也许可以用长链剖分优化

长链剖分优化流程

• 首先以向下的最大深度为基础对于每个点求出重儿子

• 在 $dp$ 转移的时候，对于重儿子因为有一个维度是深度，那么直接利用指针 $O(1)$ 继承自己的重儿子的信息

• 对于轻儿子就遍历一遍最大深度暴力合并 $dp$ 的信息

• 可以发现对于每一条链都仅会在自己的链顶端被 $O(\mathrm{链}\mathrm{长})$ 暴力合并一次，并且记录的信息也是 $O(\mathrm{链}\mathrm{长})$，所以空间和时间的复杂度都可以优化到 $O(n)$

• 不过长链剖分优化的题目难点似乎应该也不会在长链剖分上

例题

CF1009F Dominant Indices

• 参考代码

给定一张无向图，求有多少个点对满足点对之间的必经点的个数为 $L$，$n\le 2e6,m\le 4e6$

• 首先用圆方树转成树上问题，那么就是问树上两个点之间圆点的个数为 $L$ 的点对个数

• 虽然不是严格的深度，但是第二维可以看成一个有关深度的问题，所以显然可以用长链剖分优化到 $O(n)$

• 一些废话：不过我是先打完小常数 dsu （虽然带了一支 $\log$ ，但是富贵险中求）觉得也许可以过后突然想到长链剖分可以直接优化到 $O(n)$ （这个确实是正解） ，然而不想改了，不过 dsu 真的过了... 是数据太水了还是机子太快了，我自己当时手搓的大数据一般都是在 1.9s 左右（崩溃的边缘徘徊），不知道是否有人淀粉质搞过去了，翻了一下代码好像真的有？数据过水....（应该卡掉大常数 log 放过我的小常数）