CDQ 分治

总结

1. 偏序问题
2. 1D 动态规划优化
3. 动态问题转为静态问题

$$所有的这些都离不开一个精髓，就是分治处理：先处理左边区间，然后处理左边区间对右边区间的贡献，然后处理右边区间。（后面两项处理根据具体应用调整操作顺序）

$$对于偏序问题一般的就是三维偏序，要注意的是一边算贡献，一边作排序，也就是归并排序，不要 sort 。如果是四维偏序的话就再套一个 CDQ，也就是每一个区间，再以 $b$ 为底，作一次 CDQ 分治，因为还要保证 $a$ 的顺序，那么需要在 $b$ 排序的时候打个标记后再排序，最后计算贡献的时候需要满足有标记的前提，最后复杂度应该是 $O(nlog{n}^3)$。

$$对于动态规划的优化，一个例子是 $d{p}_j=1+d{p}_i[a_i<a_j][b_i<b_j]$ ，这个东西很明显可以用 CDQ 分治优化成 $nlog{n}^2$ 的复杂度，一般作就是 $n^2$。

$$对于动态问题转为静态问题，其实就是将所有操作放在时间戳上动态操作，那么对于时间来说，所有的操作都是静态的了。这个最经典的例子就是二维数点。

$$CDQ 分治的重点就在于减少重复的操作。

Luogu P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

$$这个就是 CDQ 分治的模板了，不过多赘述。

Luogu P3157 [CQOI2011]动态逆序对

$$对于每一个数考虑作为后面一个数的贡献，如果前面的数删除时间比自己晚，并且比自己大，那么就造成一个贡献，也就是有三个元素 $time,pos,val$ ，那就是一个三维偏序的题目，最后搞一个后缀和就可以了。

Luogu P2487 [SDOI2011]拦截导弹

$$ 二维最长不上升子序列的一个题目。如果我们能算出最优方案的总数和经过每一个炮弹的方案数，那么这个概率就可以直接求了。经过每一个炮弹的最优方案数，我们可以参考最短路中可行点的求法，正反求一遍，最后看是否是最优的，如果是，那么正反的方案数乘起来即可。所以这个题目本质还是求最优方案数。正常的求，应该是 $n^2$ 的，而且似乎难以优化，但是这个式子和 CDQ 分治特征偏序很像，于是我们发现完全可以用 CDQ 分治来求解。

Luogu P4690 [Ynoi2016] 镜中的昆虫

$$这是一道带修改的区间数颜色。区间数颜色的套路要么是莫队，要么就是对于每一个点记录一个 $pr{e}_j$ ，表示前面和自己同一个颜色的最接近的位置，然后搞个树状数组即可。这个题目用莫队应该是不太行的，那么我们将这个题目进一步抽象为动态二维数点问题，如果是单点修改的话，CDQ 完全可以随便搞，但是可惜是区间修改。不可能一个一个的改，但是我们发现区间覆盖，那么我们想到 odt 的思想，对于连续的颜色我们当成一个点，那么每一次操作相当于删除中间所有的点，然后插入一个点，修改删除的点的左右端点的 $pre$ ，那么修改的点的复杂度是 $O(\mathrm{删}\mathrm{除}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数})$ ，每一个点最多被删除一次，每一次操作最多会引进 3 个点，那么总的修改的点就是 $O(n+m)$ ，那么就可以愉快的套 CDQ 单点修改了。