01 分数规划

总结

01分数规划的基本题目套路是这么一个式子

\sum \frac{w_{i} a_{i}}{w_{i} b_{i}}, w_{i} = 0 / 1

也就是对于每一组问题取或不取，最好希望分数最大/小化

一般采用的都是二分的方法，也就是会套一个 $l o g$ ，然后对于这个值贪心的去判断能否达到要求

有的时候会对分母/分子有一些限制，但是肯定还是要先二分一个值的，那么我们需要对最后得出来的这个式子下手。因为涉及取或者不取，那么考虑背包的思想控制这个分数的上下界。

图上典型的 01 分数规划就是对于边一个价值是边的权值，另一个价值是 1 ，也就是选择或者不选择，求选出的所有边的最小值。这个一般会建立在环上，那么每次判一下负环就可以了。

Luogu P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G

这就是一个典型的分母带限制，同上述求解即可

Luogu P3199 [HNOI2009]最小圈

每次二分出一个值，最后的式子应该是 $< 0$ ，那么直接 SPFA 判负环即可

Luogu P3288 [SCOI2014]方伯伯运椰子

最优情况下总流量一定不变（没有人愿意无缘无故增加费用吧，也不让减少），那么这个就有点类似网络流的一个思想，对于一些流量在一段路上减少，在一段路上增加，并且这两段路组成一个环。那么我们对于压缩操作在边上设一个方向，对于扩容操作在边上设一个方向，那么对于一个环，如果我们要操作，原方向的边就代表我们要压缩，非原方向的边就代表我们要扩容。那么对于这个题目就转换成了有一些环的图上的01分数规划。那么剩下的就和上面一样的求法了。

Luogu P3705 [SDOI2017]新生舞会

这个东西像分数规划又不完全是，转换一下就是 $\sum a_{i} - C \times b_{i} = 0$ ，那么我们仍然二分 C 的值，然后用费用流去判断。建图的话就是源点向左边点连费用为 0 ，容量为 1 的边，左边的边向右边连费用为 $a_{i} - C \times b_{i}$ ，容量为 1 的边，右边的点向汇点连费用为 0 ，容量为 1 的边。