Min25 筛

Min25 初定义

• Min25 筛可以在 $O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log n})$ 或 $O(n^{1-e})$ 的复杂度下解决一类 积性函数 前缀和的问题
• 对于质数 $p$ ，要求 $f(p)$ 是一个关于 $p$ 的项数较少的多项式或可以快速求值，$f(p^c)$ 可以快速求值
• 因为多项式可以拆成若干个单项式，所以我们只需要考虑求出 $f(p)=p^k$ 的前缀和，然后每一项加起来就行了

前置约定

• 下面若无特殊规定 $p$ 为全体质数集合

• 设 $minp(x)$ 表示 $x$ 的最小质因数

• 设 $isprime(x)$ 表示 $x$ 是否是一个质数

• 设 $p_k$ 表示第 $k$ 个质数，特殊的 $p_0=1$

分类

• 对于质数和合数进行分类：

$$\sum _{i=1}^n{f}_{(}i)=\sum _{1\le p\le n}f(p)+\sum _{1\le p^e\le n,1\le p\le \sqrt{n}}f(p^e)(\sum _{1\le i\le n/p^e,minp(i)>p}f(i))$$

• 那么整个式子就变成了两个部分，第一部分是所有质数的 $f$ 之和，另一部分是枚举最小质因子后，求所有最小质因子大于这个质因子的 $f$ 之和

第一部分

• 我们考虑线性求出所有质数的 $f$ 和

• 我们考虑一个 DP 的思路，设 $g(n,i)$ ，给定 $k$

$$g(n,j)=\sum _{i=1}^n[\mathrm{isprime}(\mathrm{i})||\mathrm{minp}(\mathrm{i})>p_j]i^k$$

• 这里的 $k$ 就是给定的低阶多项式的一项

• 注意到 $i^k$ 是 完全积性函数

• 其实这个式子就是欧拉筛 $k$ 轮后剩下的数的 $k$ 次方的和

• 考虑 $g(n,j-1)$ 怎么转移过来

$$g(n,j)=g(n,j-1)-p_j^k(g(\frac{n}{p_j},j-1)-g(p_{j-1,j-1}))$$

• 大概即使考虑第 $j$ 轮回筛掉哪些数，把这些数的 $p_j$ 这个质因数拿出来，因为是完全积性函数所以是正确的

• 对于后面一项是为了将质数去掉

• 注意到 $g(p_{j-1},j-1)$ 实际上就是前 $j-1$ 个质数的 $k$ 次方和

• 对于一个合数 $x$ ，$minp(x)\le \sqrt{n}$ ，所以实际上我们需要的 $p_j\le \sqrt{n}$

• 我们设 $S_n=\sum _{i=1}^n{p}_i^k$ ，表示前 $n$ 个质数的 $k$ 次方和

• $1$ 到 $n$ 的所有质数的 $k$ 次方和其实就是 $g(n,x)$ ，其中 $p_x$ 是最后一个 $\le \sqrt{n}$ 的质数，我们记这个为 $g(n)$

• 我们知道一个重要的结论：

$$\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{a}\rfloor }{b}\rfloor =\lfloor \frac{n}{ab}\rfloor$$

• 所以实际上我们只需要 $O(\sqrt{n})$ 个点值

求解答案

• 答案就是先求出所有质数的函数和，然后枚举一个 $p^e$ ，再枚举最小质因子大于 $p$ 的数

• 设 $S(n,x)$ 表示求 $1$ 到 $n$ 中所有最小质因子大于 $p_x$ 的函数值之和，可以发现答案就是 $S(n,0)+1$

• 我们将满足条件的数分成两部分，第一部分就是大于 $p_x$ 的质数，也就是 $g(n)-S(x)$ ，另一个部分就是最小质因子大于 $p_x$ 的合数，考虑枚举最小质因子：

$$S(n,x)=g(n)-S_x+\sum _{p_k^e\le n\mathrm{\&}k>x}f(p_k^e)(S(\frac{n}{p_k^e},k)+[e\ne 1])$$

• 然后我们就可以递归解决这个问题了
• 这里其实就体现为什么要求 $f(p)$ 和 $f(p^c)$ 要可以快速求值
• 根据某玄学定理，不需要记忆化

实现细节

1. 预处理出前 $\sqrt{n}$ 个 $S$ 的值

2. 对于 $\sqrt{n}$ 个我们可能会涉及到的点值进行编号，这里运用了一点技巧，我们将小于 $\sqrt{n}$ 的用一个数组存，大于 $\sqrt{n}$ 用一个数组存，当然也可以直接用 map 但是常数略大

3. 然后递推求解 $g$ 函数

4. 递归求解 $S$ 函数

• 这里以 LG P5325 【模板】Min_25筛 为例子
• 参考代码

基础例题

求莫比乌斯函数的前缀和，即 $\sum _{i=1}^n\mu (i)$

• 这个函数是积性函数，并且 $f(p)=(-1),f(p^e,e\ge 2)=0$
• 设 $g(x)=-1$ ，这个是完全积性函数，那么 $g(n,0)=-n+1$ ，然后预处理出前 $\sqrt{n}$ 有多少个质数就可以了

求欧拉函数的前缀和，即 $\sum _{i=1}^n\phi (i)$

• 这个也是积性函数，并且 $f(p)=p-1$ ，$f(p^e)=p^e-p^{e-1}$ ，可以快速插值
• 设 $g(x)=x-1$ ，对于一次项 $G1(n,0)=\frac{n(n+1)}{2}-1$，对于常数项就是 $-n+1$ ，预处理出前 $\sqrt{n}$ 个质数和和个数就可以了

#6053. 简单的函数

• 首先这个函数是积性函数，$f(p^c)=p⨁c$ ，可以快速插值，那么就考虑质数的求法了
• $f(p)=p⨁1$ ，预处理好说，对于 $G(n,0)=\sum _{i=1}^{n}i⨁1$ 对于奇偶数分一下类就行了

进阶例题

设 $S(n,k)$ 表示范围为 $[1,n]$ ，质数幂次和为 $k$ 个数的个数，对于前 $\log n$ 个 $k$ 求 $S(n,k)$

• 设 $f(x)$ 为 $x$ 的质数幂次和，$f(ab)=f(a)+f(b)$ ，感觉和积性函数没有半毛钱关系，但是其实满足 完全积性函数的特质 ，具体看 $g$ 的求法
• 我们一个个分析最终的式子
• 设 $g(n,j,k)$ ，$n,j$ 的意义同上，质数幂次和为 $k$ 的数的个数

$$g(n,j,k)=g(n,j-1,k)+(g(n/p_j,j,k-1)-g(p_{j-1},j-1,k-1))$$

• 我们仍然可以将 $p_j$ 这一项提出来
• 对于 $\sqrt{n}$ 个前缀的质数的贡献可以直接预处理出来，然后突然发现答案就是求 $g(n,0,k)$ ，然后就没了

Min25 再定义

• 所以 Min25 筛的本质应该是它的 dp 的思想，不一定要和积性函数有关，也不一定要是低阶多项式，这也导致了它的适用性较杜教筛要广，非常的灵活
• 对于一个函数可以按照 Min25 的步骤一步步的去分析和构造辅助函数