多项式求逆

• 直接套牛顿迭代的式子，递归的式子就是

$$f(x)=f_0(x)(2-h(x)f_0(x))$$

给定序列 $g_1,...,g_n$ ，求 $f_0,...,f_n$，其中 $f_i=\sum _{j=1}^i{f}_{i-j}{g}_j$，其中边界为 $f_0$

• 也就是每一项是由前面的项决定的，这是分治 FFT 的模板题，考虑用多项式求逆做

• 设 $F$ 为 $f$ 的生成函数，设 $G$ 为 $g$ 的生成函数

$$\begin{array}{rl}F\times G& =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_i\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{g}_j{x}^{i+j}\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\sum _{i=0}^k{f}_i{g}_{k-i})x^k\end{array}$$

• 当 $k>0$ 的时候，$[x^k]F\times G=f(k)$

• 当 $k=0$ 的时候，为 $0$

$$F\times G+f_0=F$$

$$F=\frac{f(0)}{1-G}$$

• 那么多项式求逆做就可以了