APIO2021

雨林跳跃

• 设 $X=max([B,C-1]),Y=max(C,D)$

• 如果 $X>Y$ 那么一定有解，否则一定有解

• 可以发现越跳越高，并且 跳跃一段路程时一定满足自己已经比这一段的所有树都高 ，才能跳过去

• 所以最后一步跳跃一定是从一个高度为 $X\le T<Y$ 树跳到右边的区间中，而且只可能从右区间的左边跳过去

• 一定有一个最优解以 $[A,B]$ 中最长的右区间 $[E,B]$ （满足区间最高的高度 < T）中的最高点为起点

• 因为一个点跳的时候必须满足跳过去的时候 <Y ，所以右边不能有 >Y 的树，所以先确定区间 $[E,B]$

• 这个区间其实可以看成以右端点 $B$ 为起点，每次跳 1 格判断是否 >Y ，那么可以用 倍增 + ST表 实现 $\log$

• 将已经 $>Y$ 的树不看了，因为一定没有解

• 那么剩下的树中，可以发现以其他点为起点的最优解要么跳到某一步后会跳到最高点，要么就是某一步之前都可以直接替换成最高点来跳

• 所以我们就以小于 Y 的最高点为起点求答案

• 所以现在等同于我们知道了跳跃的起点，跳跃的目标是以最少的步数跳到高度 $X\le T<Y$ 的树

• 如果当前最高点已经满足要求了，那么可以直接返回 1

• 否则就需要求出到 $X\le T<Y$ 这种树的最少的步数，最后 +1

• 假设当前点不满足要求，也就是 $<X$

• 那么考虑下一步能跳到的两个地方，假设都 $<X$ ，考虑哪个地方更优

• 在 $<X$ 的树中，一定是跳的越高越好 ，可以通过分类讨论+画图发现

• 所以每次跳更高的树，当第一次遇到符合答案的高度时就可以直接跳到右区间了

• 注意到已经保证有解，所以这么跳一定会第一次遇到一个满足条件的树

• 但是可能在一颗树中的选择有一个满足条件，一个 $>Y$ ，但是我们会跳到更高的树，不过这不影响答案，因为保证有解，所以我们跳到第一个 $\ge X$ 的地方就说明出现了符合高度的树

• 确定了起点，每一步会跳到的树也确定了，目标是求多少步第一次跳到高度 $\ge X$ 的树

• 那么显然可以倍增来做

• 虽然我写了代码，但是因为本人不知道洛谷的交互题怎么交，导致我无法确定代码的正确性，所以这个题就没有参考代码了

总结

• 倍增

• 其实这个题没有那么好想，很多性质需要去挖掘，需要先大胆猜测然后再尝试证明，直接看出来一个性质不是那么容易