AHOI2022

P8338 [AHOI2022] 排列

• 首先缩环，每个环有个数量， 对于有个点交换就是两个环合起来，然后求 lcm

• 这里需要知道一个很简单但是很重要的结论：对于 \(\sum a_i=n\) ，不同的 \(a_i\) 只会有 \(\sqrt n\) 的数量级

• 所以先去重一下，然后暴力枚举，那么就是 \(O(n)\) 的了

• 那么现在就是要维护一个集合的 lcm ，支持删除添加

• 考虑质因数分解，那么就是对于每个质数的幂次维护最大

• 质因数的个数只有 \(O(\log )\) 的，虽然我也不会证

• 那么我们需要支持删除加入快速求最大值，因为只会删 2 个，所以考虑维护最大的 3 个幂次就可以了

P8339 [AHOI2022] 钥匙

• 考虑一种不重不漏的贡献方式，假设钥匙是 +1 ，宝箱是 -1 ，对于 +1+1-1-1，我们使 \((2,3)\) 和 \((1,4)\) 为两组贡献，可以发现这样子做后的贡献可以做到不重不漏

• 考虑对于每种颜色建立虚树，对于每个钥匙节点在相应的虚树上 dfs ，\(dp_y\) 表示到达这个节点时还剩的钥匙，那么如果还剩一把，那么自己和这个节点就可以算贡献了

• 也就是对应 \(x\to y\) ，如果路径 \(u\to v\) 覆盖 \(x\to y\) ，那么贡献加一

• 可以发现这样算的贡献确实是不重不漏

• 对于路径覆盖问题，可以转换变成 dfn 在某个区间

• 那么每个贡献可以看成一些矩形，每种路径看成二维平面的一个点，那么就是询问一个点能被多少个矩形覆盖了

• 这个就可以将二维平面的信息全部离线下来，然后做