LGV 引理

OIwiki

如果满足每一组不相交路径的排列都是 1,2,3,... 那么就没有逆序对，可以省略系数 \((-1)^k\)，一般在网格图中可以满足

• 此时只讨论图上计数问题

• 设 \(e(u,v)\) 表示 \((u,v)\) 的路径的个数

• 题目特征一般是：

  • 有起点集合，终点集合
  • 起点集合和终点集合大小相等
  • 求起点集合到终点集合，一一对应，每条路径没有交点的路径个数
  • 在网格图上（奇偶交点之差....）

• 真正的定理见 OI-Wiki ，我懒得打了

• 对于这个 -1 的系数，一般在网格上只要满足不相交路径，逆序对个数为 0 ，所以一般在网格图上行列式的值就是答案

• 当然也有变式，比如下面的 T3

例题

P6657 【模板】LGV 引理

• 因为满足 \(a_1\leq a_2\leq \cdots \leq a_m\) , \(b_1\leq b_2\leq \cdots \leq b_m\) ，所以不相交的路径一定是一一对应的，所以每一项的贡献都是 1 ，所以可以直接套 LGV 引理

• \(e(a,b)\) 是个组合式

CF348D Turtles

• \((1,1)\) 一定会走到 \((1,2)\) 或者 \((2,1)\) ，\((n,n)\) 一定会从 \((n-1,n)\) 和 \((n,n-1)\) 走到

• 显然不相交的情况下，排列一定没有逆序对，所以可以直接套 LGV 引理

• 这里的 \(e(u,v)\) 可以用 \(dp\) 来做

P7736 [NOI2021] 路径交点

• 这个题可以说其实是在卡科技，如果知道 LGV 引理就很简单，如果不知道那可能就没什么思路了

• 这个题和 LGV 引理的特征太相似了，事实上 LGV 引理的特征也确实太特殊了

• 起点点集和终点点集大小一样，无向图路径无交点计数

• 这个图不在网格内，所以我们需要考虑 \((-1)^{\sigma(P)}\) 的系数影响

• 然而题目中求的是 偶数 - 奇数 ，大胆猜测偶数代表 \((-1)^0\) ，奇数代表 \((-1)^1\) ，直接套 LGV 引理

• 因为幂次是相加的，奇偶数又是很特殊的数字，所以可以考虑每对逆序对的贡献

• 其实就是要证明对于两个点如果最终对应的节点组成逆序对，那么路径交点一定为奇数，反之一定为偶数

• 这个可以用数学归纳法来证明，此处就不证明了

• 所以只要我们能得到最后的行列式，直接算就可以了

• 考虑 \(e(u,v)\) 怎么算，有两个方法

  1. BFS ，整个图是个 DAG
  2. 每一层用矩阵表示用矩阵相乘直接得到最后的矩阵

• 复杂度是一样的，我用的方法 2

• 唯一要注意的是取模不要直接取模，自己写一个取模函数，实测会快很多，否则会一直 65 分

• 参考代码

总结

• LGV 引理 + 高斯消元

• 这个题感觉就是卡科技