OGF

封闭形式

$$1,1,1,1,...\to F(x)$$

$$F(x)x+1=F(x)$$

$$F(x)=\frac{1}{1-x}$$

例题

$a=<1,2,3,...>$

$$F(x)=\sum _{n\ge 0}(n+1)x^n$$

• 两边求导

$a_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n})m$ 为常数

• 二项式定理：$F(x)=\sum _{n\ge 0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n})x^n=(1+x{)}^m$

$a_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n})m$ 是常数

• $F(x)=\sum _{n\ge 0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n})x^n=\frac{1}{(1-x{)}^{m+1}}$
• 原理是神奇的数学归纳法

斐波那契数列的封闭形式

$$F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$$

展开（待定系数）

$$\frac{A}{1-ax}+\frac{B}{1-bx}=\frac{x}{1-x-x^2}$$

• 最后解出 $A,B,a,b$ 就可以了

• 对于任意多项式 $P(x),Q(x)$ ，生成函数 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的展开式都可以这么求

• 往往先求出 $Q$ 的根，把分母表示成 $\mathrm{\Pi }(1-p_{i}x{)}^{d_i}$ 的形式，然后再求分子

• 当分母有重根的时候，每多一个重根就要多一个分式，比如

$$G(X)=\frac{1}{(1-x)(1-2x{)}^2}$$

$$G(x)=\frac{c_0}{1-x}+\frac{c_1}{1-2x}+\frac{c_2}{(1-2x{)}^2}$$

• $[x^n]G(x)=1-2^{n+1}+(n+1)2^{n+1}$

卡特兰数生成函数

$$H_n=\sum _{i=0}^{n-1}{H}_i{H}_{n-i-1}(n\ge 2)$$

$$H_0=1,H_1=1$$

• 这个式子和卷积的形式很像，那么用卷积来构造：

$$H(x)=\sum _{i\ge 0}{H}_i{x}^i$$

$$H(x)=1+xH(x{)}^2$$

$$H(x)=\frac{1\pm \sqrt{1-4x}}{2x}$$

• 现在的问题是取哪个根

• 如果将分子有理化后，带入 $x=0$ 应该是常数项 $H_0$ ，那么封闭形式就可以确定为

$$H(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$$

展开

• 这个不符合多项式的格式，没办法待定系数展开

• 这里需要用到牛顿二项式定理（普通二项式定理是它的特殊情况）

• 最终的式子为 $\sum _{n\ge 0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{1}{n+1}{x}^n$

• 那么就可以得到卡特兰数的通项了