牛顿迭代相关

OI-Wiki

（具体证明等请看 OIwiki）

描述

• 给定多项式 $g(x),f(x)$ 满足：

$$g(f(x))\equiv 0(\mathrm{mod}{x}^n)$$

• 求出模 $x^n$ 意义下的 $f(x)$

公式表现形式

• 假设已经求出了模 $x^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }$ 意义下的解 $f_0$ ，那么

$$f(x)\equiv f_0(x)-\frac{g(f_0(x))}{g^{\prime }(f_0(x))}(\mathrm{mod}{x}^n)$$

• 这个 $g$ 需要我们构造

多项式求逆

设常数函数 $h(x)$ ，求它在模 $x^n$ 意义下的逆函数 $f(x)$

$$g(f(x))=f^{-1}(x)-h(x)$$

$$f(x)\equiv f_0(x)-\frac{f_0^{-1}(x)-h(x)}{-f_0^{-2}(x)}(\mathrm{mod}{x}^n)$$

$$f(x)=f_0(x)(2-h(x)f_0(x))$$

• 注意这里 $h(x)$ 是个常函数，所以求导后就没了
• 参考代码

多项式开根

设常数函数 $h(x)$ ，求它在模意义下的开根 $f(x)$

$$g(f(x))\equiv f^2(x)-h(x)(\mathrm{mod}{x}^n)$$

$$f(x)=f_0(x)-\frac{f_0^2(x)-h(x)}{f_0(x)}$$

$$f(x)=\frac{f_0(x)+h(x)+f_0^{-1}(x)}{2}$$

• 参考代码

多项式 exp

设常数函数 $h(x)$ ，求它在模意义下的 exp $f(x)$

$$g(f(x))\equiv \ln (f(x))-h(x)$$

$$f(x)=f_0(x)[1-\ln (f(x))+h(x)]$$

• 参考代码

多项式 ln

• 先求导，再积分

$$\frac{d\ln (f(x))}{dx}=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$$

$$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln (f(x))$$

• 积分和求导都是 $O(n)$ 的，所以总复杂度为 $O(n\log n)$
• 参考代码

值得一提的是 $\ln ,\exp$ 有 $n^2$ 推法，具体见：多项式 lnexp 暴力解法