FWT

简介

• 大概是解决形如要求 $c_i=\sum _{j⨁k=i}{A}_j{B}_k$

• 这个符号可以是 或，与，异或

• 整个的流程和 FFT 很像，先正变换成 $FWT(A),FWT(B)$ ，然后将两者相乘，最后再逆变换

• 具体的证明和定义和一些繁杂的过程这里就不说了，直接上结论

• 因为我们是形如 FFT 的分治运算，所以也是有规律才能分治

• 这里直接给出这个规律

原文章

所有的正变化时， $FWT(A)=A,[n=0]$ ，默认长度为 $2^n$，$A_0$ 为序列 $A$ 的左半部分 ，$A_1$ 为右半部分，$(A,B)$ 表示将两个序列接起来

或运算

$$FWT(A)=(FWT(A_0),type\ast FWT(A_0)+FWT(A_1))$$

• 正变化的时候 $type=1$，否则为 $-1$
• 正变化 $FWT(A)[i]=\sum _{j|i}{A}_j$

与运算

$$FWT(A)=(FWT(A_0)+type\ast FWT(A_1),FWT(A_1))$$

• 正变化时 $type=1$ ，否则为 $-1$

• 正变化 $FWT(A)[i]=\sum _{i|j}{A}_j$

异或运算

$$FWT(A)=(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1))$$

• 正变化
• 正变化 $FWT(A)[i]=\sum _{j=0}^{2^n-1}(-1{)}^{c(i\mathrm{\&}j)}A[j]$
• $c(x)$ 表示 $x$ 二进制下 $1$ 的个数

$$FWT(A)=(\frac{FWT(A_0)+FWT(A_1)}{2},\frac{FWT(A_0)-FWT(A_1)}{2})$$

• 逆变化

LG 模板题

参考代码