FWT
简介
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大概是解决形如要求 \(c_i=\sum_{j\bigoplus k=i} A_jB_k\)
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这个符号可以是 或，与，异或
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整个的流程和 FFT 很像，先正变换成 \(FWT(A),FWT(B)\) ，然后将两者相乘，最后再逆变换
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具体的证明和定义和一些繁杂的过程这里就不说了，直接上结论
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因为我们是形如 FFT 的分治运算，所以也是有规律才能分治
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这里直接给出这个规律
所有的正变化时， \(FWT(A)=A , [n=0]\) ，默认长度为 \(2^n\)，\(A_0\) 为序列 \(A\) 的左半部分 ，\(A_1\) 为右半部分，\((A,B)\) 表示将两个序列接起来
或运算
\[FWT(A)=(FWT(A_0),type*FWT(A_0)+FWT(A_1))
\]
- 正变化的时候 \(type=1\)，否则为 \(-1\)
- 正变化 \(FWT(A)[i]=\sum_{j|i}A_j\)
与运算
\[FWT(A)=(FWT(A_0)+type*FWT(A_1),FWT(A_1))
\]
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正变化时 \(type=1\) ，否则为 \(-1\)
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正变化 \(FWT(A)[i]=\sum_{i|j}A_j\)
异或运算
\[FWT(A)=(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1))
\]
- 正变化
- 正变化 \(FWT(A)[i]=\sum_{j=0}^{2^n-1}(-1)^{c(i\&j)} A[j]\)
- \(c(x)\) 表示 \(x\) 二进制下 \(1\) 的个数
\[FWT(A)=(\frac{FWT(A_0)+FWT(A_1)}{2},\frac{FWT(A_0)-FWT(A_1)}{2})
\]
- 逆变化
