NTT

质数模数 NTT

• 普通 FFT 有一个很大缺点就是精度和随带的速度

• 因为一直是在复数域，大量的 double 运算，精度的损失太大了，所以出现了 NTT （快速数论变换）

• NTT 的思想和 FFT 的思想是一样的，只是将原根换成了一个替代品$\to$关于模数的原根

• 倒数的地方就是原根关于模数的逆元

• P3803 【模板】多项式乘法（FFT）

• 参考代码

任意模数 NTT

• 以 P4245 【模板】任意模数多项式乘法 为例

• 最大值不超过 $p^2\times max(n,m)\le {10}^{23}$ ，那么拿三个模数来做就差不多了

• 我们拿三个模数，每个都做一边 NTT ，那么最后对于每一项就可以用 excrt 来解

• 要注意的是 excrt 不能直接用，因为模数的 lcm 会爆，这个时候需要手推式子

• 比如 $x\equiv b_1(\mathrm{mod}{a}_1)$ ，那么 $x=a_{1}x+b_1$ ，将这个带入下一个式子的左边，迭代下去即可

• 最终会得到 $Ans\equiv X(\mathrm{mod}{a}_1{a}_2...)$ ，因为 $Ans<a_1{a}_2...$ ，所以 $Ans=X$ ，那么求 $X$ 的过程中就可以对原题目要求的质数取模了

• 参考代码

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