FFT

FFT 流程

以 P1919 【模板】A*B Problem 升级版（FFT 快速傅里叶变换）为例
一个数字可以看成 $a_{i} \times 10^{i}$ ，那么把两个数字转成多项式的形式，求最后每一项的系数
我们知道一个多项式可以通过 $n$ 个系数，或者 $n + 1$ 个点值来确定，那么我们考虑快速的让两个多项式转换成点值表示，然后点值的值是可以直接乘起来的，然后再通过得到的 $(f * g)$ 的 $n + 1$ 个点值转回系数
FFT 要求长度为 $2^{n}$ ，所以不够的补 0

系数转点值

对于函数 $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . .$
$f (x) = (a_{0} + a_{2} x^{2} + a_{4} x^{4} + . . .) + x (a_{1} + a_{3} x^{2} + a_{5} x^{4} + . . .)$
设 $G (x) = a_{0} + a_{2} x + a_{4} x^{2} . . ., H (x) = a_{1} + a_{3} x + a_{5} x^{2} . . .$
那么 $f (x) = G (x^{2}) + x H (x^{2})$
注意到这个 $x$ 我们取单位根 $w_{n}^{k}, 0 \leq k \leq n$ ，之所以这个取是因为单位根是 $x^{n} = 1$ 在复数域下的解，幂次最后得出是 1 会方便我们计算
单位根有一些性质：
- $w_{n}^{n} = 1$
- $w_{2 n}^{2 k} = w_{n}^{k}$
- $w_{2 n}^{n + k} = - w_{2 n}^{k}$
那么最后就会得到
- $0 < x < \frac{n}{2}, f (w_{n}^{x}) = G (w_{n / 2}^{k}) + w_{n}^{k} H (w_{n / 2}^{k})$
- $\frac{n}{2} \leq x < n, f (w_{n}^{x}) = G (w_{n / 2}^{k}) - w_{n}^{k} H (w_{n / 2}^{k})$
可以发现中间的符号不同，其他都是一样的，那么我们只要递归求 $G (x)$ 和 $H (x)$ 就可以了
最后得到的函数的每一位是相应的点值
复杂度为 $O (n \log n)$ ，递归写法

蝴蝶变换

点值转系数

8 次MTT

FFT 的精度损失是一方面，另一方面无法像 NTT 那样做大值域，因为没办法取模
于是就有了拆系数 FFT ，也叫 MTT
以 P4245 【模板】任意模数多项式乘法为例
一种方法是直接将一个函数 $f (x)$ 拆成 $f (x) / M$ ， $f (x) % M$
$f (x) = M \times (f (x) / M) + (f (x) % M) = M f_{1} (x) + f_{2} (x)$
那么 $f (x) g (x) = M^{2} f_{1} g_{1} + f_{2} g_{2} + M f_{1} g_{2} + M f_{2} g_{1}$ ，那么就要做 8 次 FFT
$M$ 取 $2^{15}$ 最好，开 long double 信仰的跑，值域是解决了，但是常数巨大

4 次 MTT

首先还是像上面一样拆式子，那么现在有 $A_{0}, A_{1}, B_{0}, B_{1}$ 四个系数式，我们希望通过 2 次 DFT 得到它们各自的点值
构造系数式 $P = A_{0} + i B_{0}, Q = A_{0} - i B_{0}$
注意到 $P, Q$ 的每一项都共轭，那么它们的点值也共轭，那么我们求出 $P$ 的点值，然后推出 $Q$ 的点值，然后类似于解一元二次方程来解出 $A_{0}, B_{0}$
那么分成两组，一共就是 2 次 DFT
现在得到了 $A_{0}, A_{1}, B_{1}, B_{0}$ 的点值
更抽象的，现在有 4 个点值式 $A, B, C, D$ ，我们希望通过 2 次 IDFT 得到它们两两乘积的系数式
构造 $P = A + i B, Q = C + i D, Q^{'} = C - i D$
那么 $P Q = A C + i B C + i D A - B D, P Q^{'} = A C + i B C - i D A + B D$
通过 2 次 IDFT 可以得到上述式子
因为最终的答案不存在虚部，那么就可以通过虚部和实部分别解出 $A C, B C, B D, D A$ ，正好符合我们的要求
那么总的就是要进行 4 次 FFT