莫比乌斯变换 && lcm,gcd 卷积

原文章

• zeta 变换

$$f\zeta (n)=\sum _{d|n}f(d)$$

• 其实可以将 zeta 变换看成一个对于质因子的幂次的高位前缀和

• 高位前缀和可以通过容斥转换成单点值，我们对于二维前缀和找找规律就可以发现

• $\mu$ 函数的一个直观含义就是，如果每个因子的个数都为 0 ，那么值为 1 ，如果有一个质因数的幂次 > 1 ，那么值为 0 ，否则假设质因数的个数为 $c$ ，那么值为 $(-1{)}^c$

• 这个也是一种容斥系数

• 现在考虑求单点值 $f(n)$

$$f(n)=\sum _{d|n}\mu (\frac{n}{f})f\zeta (d)$$

• 这个东西其实就是大家熟知的莫比乌斯变换

• 这里以一种易于懂的形式解释它的一种意义

• 同理枚举倍数也可以变换

$$f(n)=\sum _{n|d}g(d)$$

$$g(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})f(d)$$

• 下面记住两个式子：

$$h(n)=\sum _i\sum _{j}f(i)g(j)[\mathrm{lcm}(i,j)=n]$$

$$h\zeta (n)=g\zeta (n)f\zeta (n)$$

$$h(n)=\sum _i\sum _{j}f(i)g(j)[gcd(i,j)=n]$$

$$h\zeta (n)=g\zeta (n)f\zeta (n)$$

• 所以如果限制了 $gcd,\mathrm{lcm}$ 可以考虑这种变换形式