BSGS

BSGS

• 设 $0\le A,B\le \sqrt{p}$

$$\begin{gathered} a^{A\sqrt{P}-B}\equiv b(\mathrm{mod}P) \\ {a}^{A\sqrt{P}}\equiv b\times a^B(\mathrm{mod}P) \end{gathered}$$

• 那么预处理出 $b\times a^B$ ，枚举 $A$ 看是否有匹配的，复杂度为 $O(\sqrt{P})$ 如果用 unordered_map
• 但是前提条件是 $P$ 和 $a$ 互质，不然不保证有逆元

EXBSGS

• 假设当前不互质，那么

• 设 $d=gcd(a,p)$ ，将 $a,b,p$ 都除以 $d$

• 也就是变成 $\frac{a}{d}\ast a^{x-1}\equiv \frac{b}{d}(\mathrm{mod}\frac{P}{d})$

• 然后再判断 $a$ 是否和 $\frac{P}{d}$ 互质，一次类推下去，直到最后两者互质，那么就有逆元了，那么就可以开始 BSGS 了

• 最后应该长 $\frac{a}{D}\ast a^{x-d}\equiv \frac{b}{D}(\mathrm{mod}\frac{P}{D})$

• 这个就好求了

另一类高次剩余问题

• 对于一个质数的原根，在模意义下，对于 $0\le x<P$ ，一定存在 $0\le c<P$ ，满足 $g^c=x$

• 对于这一类 $x^a\equiv b(\mathrm{mod}P)$ , $P$ 是质数

• 我们可以找到一个 $P$ 的原根，令 $x=g^c$ ，一定可以找到这个 $g$ 和 $c$

• 那么 $g^{xa}\equiv b(\mathrm{mod}P)$ ，这样就转换成 BSGS 了