黎曼函数

定义

$$\zeta (x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{p}& x\mathrm{为}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{数}\frac{p}{q},p\perp q,p\in N^{+},q\in Z\\ 1& x=0\\ 0& x\mathrm{为}\mathrm{无}\mathrm{理}\mathrm{数}\end{array}$$

• 之所以定义 $\zeta (0)=1$ ，这样能使得周期为 1 （无理数 +1 仍然是无理数，有理数 +1 后分母不变）

• 黎曼函数对 $\mathrm{\forall }{x}_0\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 均有 $\underset{x\to x_0}{lim}\zeta (x)=0$ ，也就是黎曼函数在数轴上一切无理点连续，有理点不连续

• 黎曼函数可积

• 黎曼函数：

$$\zeta (x)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^x}$$