原根

定义

• 当 $gcd(a,p)=1$ ，最小的 $n$ 使得 $a^n\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ ，称为 $a$ 模 $p$ 的阶 ，$n={\xi }_p(a)$

• 对于 $g$ ，如果满足 $gcd(g,p)=1,{\xi }_p(g)=\phi (p)$ ，那么 $g$ 为 $p$ 的一个原根

性质有关 NTT

设 $g$ 为质数 $p$ 的一个原根

设 $g_n=g^{\frac{p-1}{n}}$ ，那么尝试证明原根和单位根之间相似的性质

1. $g_n^n\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

2. $g_{an}^{ak}\equiv g_n^k(\mathrm{mod}p)$

3. $(g_n^{\frac{n}{2}+k}{)}^2\equiv g_n^{n+2k}\equiv g_n^{2k}(\mathrm{mod}p)$

• 有了上述的性质，我们完全就可以将单位根换成原根

原根的充要条件：

$$g^{\frac{p-1}{p_i}}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

• $p_i$ 为 $p-1$ 的质因子，上述式子 恒不成立

$$g^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

• 上述式子 成立

• 一般的原根都比较小，可以枚举的找一下

• 对于 998244353 的一个原根是 3