筛法

筛法求约数和

• 设 $f(i)$ 为 $i$ 的约数和， $g(i)$ 为 $i$ 的最小的质因子的 $p^0+p^1+p^2+....+p^k$

• 线性筛的时候筛到自己最小的质数，如果自己已经是这个质数的倍数，那么

$$\begin{gathered} g(i\times p)=g(i)\times p+1 \\ f(i\times p)=f(i)/g(i)\ast g(i\times p) \end{gathered}$$

• 否则 $f(i\times p)=f(i)\times f(p),g(i\times p)=1+p$

一般积性函数线性筛

• 可以参照上面的做法，去构造一个 $g(i)$ 表示对于 $i$ 的最小质因子的全部幂次 $p^k$ 的有关 $f$ 的函数

• 那么如果被最小的质数筛到，并且这个质数幂次唯一，那么根据积性函数就可以直接乘了，对于 $g$ 就对应的赋值

• 否则就需要用到 $g$ 函数，就像上面的情况一一样