欧拉函数

定义

• $\phi (n)$

• 表示小于等于 $n$ 的和 $n$ 互质的数的个数

• 比如 $\phi (1)=1$

• 当$n$ 为质数时 $\phi (n)=n-1$

• $\phi (n)=n\prod _{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i}),n=p_1^{c_1}...p_s^{c_s}$ ，这可以用性质 1 和 3 来证

欧拉函数的一些性质

• 欧拉函数是积性函数，特殊的 $\phi (2n)=\phi (n)$

• $n=\sum _{d|n}\phi (d)$

• 若 $n=p^k$ ，$p$ 为质数，那么 $\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$

欧拉定理

• 若 $gcd(a,m)=1$，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$

扩展欧拉定理

$$a^b\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^{bmod\phi (p)}& gcd(a,p)=1\\ a^b& gcd(a,p)\ne 1,b<\phi (p)\\ a^{bmod\phi (p)+\phi (p)}& gcd(a,p)\ne 1,b\ge \phi (p)\end{array}(\mathrm{mod}p)$$

常用的反演形式

• $gcd(x,y)=\sum _{i|x}\sum _{i|y}\phi (i)$