拉格朗日插值

基础形式

• 众所周知，由 $n+1$ 个点可以确定最高为 $n$ 次多项式

• 给定 $n$ 个点，求这 $n$ 个点所确定的多项式在某个点的取值，$f(k)$

$$f(k)=\sum _{i=0}^n{y}_i\prod _{i\ne j}\frac{k-x_j}{x_i-x_j}$$

注意当插值连续的时候，可以做到 $O(n)$

重心拉格朗日插值

• 设 $g=\prod _{i=0}^n(k-x_i)$

• 那么 $f(k)=g\sum _{i=0}^n\frac{y_i}{(k-x_i)}\prod _{i\ne j}\frac{1}{(x_i-x_j)}$

• 设 $t_i=\prod _{i\ne j}(x_i-x_j)$

• 那么 $f(k)=g\sum _{i=0}^n\frac{y_i}{(k-x_i)t_i}$

• 那么每次插一个点就算 $t$ 就行了

• 这个有什么用呢，我也不知道

P5667 拉格朗日插值2

• 提示一下这个不是什么 $O(n)$ 做法，其实是一个简单的卷积
• 具体的可以看题解区