杜教筛

• 杜教筛是用来在非线性时间内求积性函数的前缀和

前置知识

• 积性函数（莫比乌斯函数，欧拉函数。。。）

• 狄利克雷卷积

杜教筛

• 假设当前要求积性函数的 $\sum _{i=1}^n{f}_i$

• 那么我们找一个合适的另一个积性函数 $g$

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)\\ =& \sum _{i=1}^n\sum _{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})\\ =& \sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{f}_i\\ =& \sum _{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )\end{array}$$

• 那么 $g(1)S(n)=\sum _{i=1}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$

• 那么 $g(1)S(n)=\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$

• 最后这个式子可以当作一个 公式

• 所以现在就需要找到一个合适的积性函数 $g$ 使得可以快速的求出这两个部分，后面的部分可以用数论分块优化，前面的部分一般可以 $O(1)$ 算

• 那么一般的复杂度就是 $O(n^{\frac{3}{4}})$ ，如果预处理出长度为 $n^{\frac{2}{3}}$ 的前缀和，那么可以证明复杂度为 $O(n^{\frac{2}{3}})$

• 还有的优化就是在递归的时候记忆化

• P4213 【模板】杜教筛（Sum）

• 代码

P3768 简单的数学题

• 首先转换成 $\sum _{x=1}^n{x}^3\sum _{d=1}^{\lfloor \frac{n}{x}\rfloor }\mu (d)d^{2}g(\frac{n}{dx}),g(x)=(\frac{(1+x)x}{2}{)}^2$

• 这里有个套路，设 $T=dx$ ，把 $g$ 提前

• 因为我们需要构造出我们熟悉的数论函数，所以这个和 $\mu$ 函数连在一起的分块结构必须分离

• $\sum _{T=1}^{n}g(\lfloor \frac{n}{T}\rfloor )\times T^2\sum _{d|T}\mu (T)(\frac{T}{d})$

• 将后面的一坨看成 $f(x)$ ，那么就是 $\sum _{T=1}^{n}g(..)\times f(T)$

• 前面的部分可以用数论分块优化，后面的 $f$ 考虑用非线性的杜教筛

• 对于 $f(x)=x^2\sum _{d|x}\mu (x)(\frac{x}{d})=x^2\phi (x)$

• 考虑找一个积性函数，最好将 $\phi$ 变成 $\mathrm{id}$ ，所以需要先将 $x^2$ 消掉，设 $h(x)=x^2$

• 那么 $(f\cdot h)(x)=x^2\sum _{d|x}\phi (d)=x^3$

• 那么就可以直接套杜教筛，$S(n)=\sum _{i=1}^n{i}^3-\sum _{i=2}^n{i}^{2}S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$

• $\sum _{i=1}^n{i}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$ ，$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ，那么整体的复杂度就可以做到 $n^{\frac{2}{3}}$

• 虽然外层套了层数论分块，但是我们记忆化了，最后只会有 $\sqrt{n}$ 个点值会被算到，所以整体的复杂度在里面的杜教筛，所以可以看成 $O(\sqrt{n}+n^{\frac{2}{3}})$