单位根

复数中的三角函数表示

• 假设复数 $z$ 的模长为 $l$ ，和 $x$ 坐标的夹角为 $\alpha$

$$z=l(\cos (\alpha )+i\sin (\alpha ))$$

欧拉定理：

$$z=x+iy$$

$$e^z=e^x(\cos (y)+i\sin (y))$$

• 更简便的表示 $e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

单位根

• 在复数平面上的单位圆中

• $n$ 次单位根将单位圆等角度平分

• 设 $w_n=\cos (\frac{2\pi }{n})+\sin (\frac{2\pi }{n})i$

• $n$ 次单位根为 $x^n=1$ 在复数中的解集 $w_n^k,0\le k\le n-1$

• 所有解均可以用 $w_n$ 的幂次来表示

• $w_n^k=e^{2\pi ki}=\cos (2\pi k)+i\sin (2\pi k)$ ，显然为 $1$

单位根的一些性质

• $w_n^n=1$

• $w_n^k=w_{2n}^{2k}$

• $w_{2n}^{k+n}=-w_{2n}^k$

本原单位根

• $\{w_n^k|0\le k\le n-1,gcd(n,k)=1\}$

• $n$ 次本原单位根有 $\phi (n)$ 个