单位根

复数中的三角函数表示

• 假设复数 \(z\) 的模长为 \(l\) ，和 \(x\) 坐标的夹角为 \(\alpha\)

\[z=l(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)) \]

欧拉定理：

\[z=x+iy \]

\[e^z=e^x(\cos(y)+i\sin(y)) \]

• 更简便的表示 \(e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\)

单位根

• 在复数平面上的单位圆中

• \(n\) 次单位根将单位圆等角度平分

• 设 \(w_n=\cos(\frac{2\pi}{n})+\sin(\frac{2\pi}{n})i\)

• \(n\) 次单位根为 \(x^n=1\) 在复数中的解集 \(w_n^k,0\leq k\leq n-1\)

• 所有解均可以用 \(w_n\) 的幂次来表示

• \(w_n^k=e^{2\pi ki}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)\) ，显然为 \(1\)

单位根的一些性质

• \(w_n^n=1\)

• \(w_n^k=w_{2n}^{2k}\)

• \(w_{2n}^{k+n}=-w_{2n}^k\)

本原单位根

• \(\{w_n^k|0\leq k\leq n-1,gcd(n,k)=1\}\)

• \(n\) 次本原单位根有 \(\varphi(n)\) 个