拉格朗日插值优化值域 dp

前言

• 主要是我对省选 2022 D1T2 一直耿耿于怀，所以就有了这一篇文章

• 感觉这一类题目似乎都挺套路的

• 学习不久，肯定有很多错误，望轻喷

前置知识

• 拉格朗日插值：$f(k)=\sum _{i=0}^n{y}_i\prod _{j\ne i}\frac{k-x_j}{x_i-x_j}$ ，复杂度为 $O(n^2)$

• 一般的我们会用 $1-n$ 这样的点值来做插值，原式就可以转变成 $\sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j\ne i}\frac{k-j}{i-j}$，预处理出阶乘，复杂度就可以做到 $O(n)$ 了

• 多项式做前缀和指数+1 ，多项式相乘指数相加，多项式相加指数取最大......

问题引入

LG P3643 [APIO2016]划艇

• 首先设计 dp

• 设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个学校的最大值为 $j$ 的方案数，$j=0$ 表示一个都没选 ，转移式：

  • 当 $a_i\le j\le b_i,f[i][j]=\sum _{0\le k\le j}f[i-1][k]$
  • 否则，$f[i][j]=f[i-1][j]$

• 可以发现 $f[i](x)$ 是一个分段函数，拉格朗日插值可以为完整不分段的多项式插值

• 因此我们考虑将值域 $[1,{10}^9+1)$ 分成若干段 左闭右开 的区间，使得每一段区间都是可插值的

• 那么 $a_i,b_i+1$ 就是断点，将所有的这些点放在一起离散化，对于 $[po{s}_x,po{s}_{x+1})$ 每次求出 $n+1$ 个点值即可，一共只有 $O(n)$ 个这样的区间

• $f[0](x)$ 是一个常数多项式，每次转移最多是做了以一个前缀和，指数加一，所以 $f[n](x)$ 的次数必然最大为 $n$ ，插 $n+1$ 个点值即可

• 因此就是对于每一个区间维护前 $(n+1)$ 个点值，注意到这里最终插值实际上插的是一个范围，因为我们要维护区间和，所以插出来的值要是整个区间的和，所以我们维护前 $(n+1)$ 个点值的时候要维护真正的 $f$ 的值的相对于区间的前缀和，具体可以看看代码理解

• 参考代码

• 一开始还 T 成了 90 ，还以为被卡常了，后来发现没开 O2

LG P5469 [NOI2019] 机器人

• 首先设计 dp

• 首先需要观察到对于最右边的最大值，左边和右边其实是两个独立的新的子问题

• 那么考虑根据这个性质建立 dp 方程

• 设 $f[l][r][j]$ 表示在范围内最大值 $\le j$ 的方案数

• 那么每次枚举一个可以成为最大值的位置，然后枚举最大值，递归求解

• 因为对于一个区间只有 $1,2$ 个满足条件的位置，所以实际上的状态很少，写到这里就拿到了前 50 分

• 我们将每个可能涉及的范围用一个数字来表示这个状态，设 $f[now][j]$

• 设状态数为 $N$ ，复杂度就是 $O(NV)$

• 参考代码

• 可以发现这里的复杂度瓶颈在值域

• 对于 $l=r$ 的时候，可以发现 $f[now](x)$ 其实是个一次函数

• 考虑每次合并，可以发现长度为 $len$ 的区间，$f[now](x)$ 实际上是一个 $len$ 次多项式

• 所以次数不会大于 $n$ ，那么我们考虑像上一题一样用拉插来做

• 仍然先将区间分成一个个左闭右开的区间，对于每个区间做一次 $dp$

• 首先对于每个状态求出前 $n+1$ 个插值，然后再对于每个状态做拉插，用 $f[now][0]$ 来存前缀和即可

• 参考代码

• T 成 95 了，不想卡常所以所以直接特判过去了

LG P8290 [省选联考 2022] 填树

前言

• 我是傻逼

正题

• 首先考虑第一问

• 考虑先确定一个最小值 $l$ ，那么最大值的范围就是 $[l,l+K]$ ，设 $p(l,r)$ 表示范围在 $[l,r]$ 的路径的个数

• 那么答案实际上就是 $\sum p(l,l+K)-p(l+1,l+K)$

• 设 $Q(l)=p(l,l+K)-p(l+1,l+K)$，那么答案就是 $\sum Q(l)$

• $p(l,r)$ 用树形 dp 可以 $O(n)$ 解决

• 仍然考虑按照值域分成一段段左闭右开的区间，这样每一段树形 dp 的时候都是完整的函数，可以进行拉插

• 最后大致的分析一下多项式的指数，可以发现 $p(l,r)$ 的指数最多就是 $n+1$

• 权值也是一样的做法，不过因为乘了一个等比数列，所以指数就是 $n+2$

P4463 [集训队互测 2012] calc

• 感觉这个题最多紫啊

• 设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数，值域为 $[1,j]$ 的答案

• $f_{i,j}=f_{i,j-1}+j{f}_{i-1,j}$

• 发现这个式子有一维是值域，极大无比，感觉这种情况要么考虑矩乘要么就是拉插吧

• 显然是拉插啦，考虑多项式的指数

• 可以发现 $f_{i,j}=2i！+i{f}_{i-1,i}+(i+1)f_{i-1,i+1}+...$

• 可以发现后面的多项式整体右移了一位又做了前缀和，所以指数 +2

• 所以对于 $f(n)$ 的指数是 $2n$ ，求出 $2n+1$ 个点值然后直接插值就可以了

总结

• 大概解决一类 dp ，有一维是值域且非常大，$n$ 很小，复杂度猜测为 $O(n^3)$ 左右，具有选择值域中的一个数这样的特征

• 首先写出 dp 的式子

• 然后考虑优化值域这一部分

• 一般的将区间分成一段段左闭右开的区间得到完整的函数，然后分析指数，考虑拉插