[模板] 带修改主席树

> 我就算去学整体二分，CDQ分治，也不学树套树。~~树套树真好用~~。 ## 带修改主席树 我相信来看带修改主席树的应该自认为对主席树很是了解，如果还没深刻理解请不要看继续看下去了，因为那样就算学了也无法深刻理解。 首先我们来分析一下主席树，它是权值线段树+离散化+再加动态开点，使空间复杂度和时间复杂度都降到了$nlogn$。那么如果带一个单点修改该怎么办？我们就想到了支持单点修改，区间查询的数据结构树状数组和线段树，但由于线段树常数又大，码量又大于树状数组。所以在这里我们用树状数组套主席树。我们先来看一下树状数组的图。 

这时容易发现，只要把树状数组上的每一个节点换成一颗主席树就行了，
单点修改，直接按照树状数组的修改就行了。
如果不理解的话，就想象一下树状数组的每一个节点挂了一颗主席树。

时间复杂度

主席树查询复杂度为\(nlogn\)，树状数组时间复杂度为\(logn\)，所以时间复杂度为\(n{logn}^2\)。

空间复杂度

主席树空间复杂度为\(nlogn\)，每个节点最多存入\(logn\)个树状数组(因为每次加lowbit(i)),
由于我们是在线开点，所以空间复杂度为\(n{logn}^2\)。
代码如下:

// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[100010],hash[101000],tot,root[201000],cnt,n,m,tt,qll[200100],qrr[20000];
int q1,q2,id[201000],b[201000];
struct TREE
{
    int ln,rn,zhi;
}t[10010000];
struct NODE
{
    int l,r,k,flag;
}q[100100];
int lowbit(int x) {return (x)&(-x);}
void gai(int &node,int l,int r,int hs,int v)
{
    if(!node) node=++tot;
    t[node].zhi+=v;
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)/2;
    if(hs<=mid) gai(t[node].ln,l,mid,hs,v);
    else gai(t[node].rn,mid+1,r,hs,v);
}
void add(int p,int v)
{
    hash[p]=lower_bound(a+1,a+1+tt,hash[p])-a;
    //cout<<hash[p]<<endl;
    for(int i=p;i<=n;i+=lowbit(i)) gai(root[i],1,tt,hash[p],v);
}
char s[2];
int SUM()
{
    int ans1=0,ans2=0;
    for(int i=1;i<=q1;i++) ans1+=t[t[qrr[i]].ln].zhi;
    for(int i=1;i<=q2;i++) ans2+=t[t[qll[i]].ln].zhi;
    return ans1-ans2;

}
int cha(int qr,int ql,int l,int r,int k)
{
    q1=0,q2=0;
    for(int i=qr;i>=1;i-=lowbit(i)) qrr[++q1]=root[i];
    for(int i=ql;i>=1;i-=lowbit(i)) qll[++q2]=root[i];
    while(l<r)
    {
        int lsiz=SUM(),mid=(l+r)/2;
        if(k<=lsiz) 
        {
            for(int i=1;i<=q1;i++) qrr[i]=t[qrr[i]].ln;
            for(int i=1;i<=q2;i++) qll[i]=t[qll[i]].ln;
            r=mid;
        }
        else
        {
            for(int i=1;i<=q1;i++) qrr[i]=t[qrr[i]].rn;
            for(int i=1;i<=q2;i++) qll[i]=t[qll[i]].rn;
            l=mid+1;k-=lsiz;
        }
    }
    return l;
}
int main()
{
    int x,y,z;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);b[i]=a[i];
        hash[++cnt]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%s",s);
        if(s[0]=='Q')
        scanf("%d%d%d",&q[i].l,&q[i].r,&q[i].k),q[i].flag=1;
        else
        {
            scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
            a[++cnt]=q[i].r;hash[cnt]=a[cnt];
        }
    }
    sort(a+1,a+1+cnt);
    tt=unique(a+1,a+1+cnt)-a-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    add(i,1);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(q[i].flag==1)
        printf("%d\n",a[cha(q[i].r,q[i].l-1,1,tt,q[i].k)]);
        else
        {
            hash[q[i].l]=b[q[i].l];
            add(q[i].l,-1);
            hash[q[i].l]=q[i].r;
            b[q[i].l]=q[i].r;
            add(q[i].l,1);
        }
    }
}