欧拉回路

1. 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图
无向图：
1)  设G 是连通无向图，则称经过G 的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路；
2)  如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点），则称此回路为欧拉回路（Euler circuit）；
3)  具有欧拉回路的无向图G 称为欧拉图（Euler graph）。
有向图：
1) 设D 是有向图，D 的基图连通，则称经过D 的每条边一次并且仅一次的有向路径为有向欧拉通路；
2) 如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向回路为有向欧拉回路（directed Euler circuit）；

3) 具有有向欧拉回路的有向图D 称为有向欧拉图（directed Euler graph）。

2. 定理及推论
欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的，请看下面的定理及推论。

定理2.1 

无向图G 存在欧拉通路的充要条件是：G 为连通图，并且G 仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。

推论2.1：

1) 当G 是仅有两个奇度结点的连通图时，G 的欧拉通路必以此两个结点为端点。
2) 当G 是无奇度结点的连通图时，G 必有欧拉回路。

3) G 为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G 为无奇度结点的连通图。

定理2.2 

有向图D 存在欧拉通路的充要条件是：D 为有向图，D 的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1。

推论2.2：
1) 当D 除出、入度之差为1，-1 的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D 的有向欧拉通路必以出、入度之差为1 的顶点作为始点，以出、入度之差为-1 的顶点作为终点。
2) 当D 的所有顶点的出、入度都相等时，D 中存在有向欧拉回路。
3) 有向图D 为有向欧拉图的充分必要条件是D 的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。