基于Unity3D三维模型的动作插值（空间关键帧动画实现）

1.引言

最近在Unity3D中实现一个基于自定义Mesh网格的骨骼动画。存储关键帧信息，然后通过插值形成中间动画。网格GameObject之间存在父子关系。插值动画对模型骨骼的Position、Sclae、Rotation三个部分分别混合插值。

并且注意，一般选取的是子骨骼相对父骨骼的Transform信息，即上述关键帧信息具体应该为Transform.localPosition、localScale、localRotation。

并且这个系统的关键帧是定义在三维空间中的，用户在一系列关键帧点之间拖动预设点，系统自动混合生成预设点位置处的模型动作信息。

演示视频地址：http://v.qq.com/page/c/f/j/c0149v62gfj.html

视频中红色的为预设点，绿色的为关键帧点，关键帧点把该关键帧定义在了一个空间位置中，预设点则计算自身到各关键帧点的距离，生成N个权重信息，进而混合成模型动画。

2.距离权重

预设点和N个空间关键帧的距离分别为d1,d2,d3...dn，我的权重函数：weight_i=1/(di^4), (靠近关键帧时收敛较快,并且整个过程较平滑)，且sum_weight=weight_1 + weight_2 +weight_3 +...+weight_n

则预设对于N个空间点的权重分别是weight_i/sum_weight（i＝1，2，3...N）。

Position和Scale只需要乘以权重求和即可，麻烦的是Rotation，3D空间的旋转一般采用的都是四元数，四元数具有不产生“万向节锁(Gimbal Lock)”等优良特性。下面讨论一下四元数的性质和对N个四元数的插值运算。

3.N个四元数的插值计算

四元数表示的是空间的一个轴角对((x,y,z),w),也表示成( (sin(theta/2)Nx,sin(theta/2)Ny,sin(theta/2)Nz) ,cos(theta/2) )

并且在Unity3D中，自带的Quaternion类生成的四元数为单位四元数，即使上式x^2+y^2+z^2+w^2==1,并且Nx^2+Ny^2+Nz^2==1.

那么，问题来了，对于N个四元数，我们也求得了相应的N个权重值，现在要怎么求混合值呢？

先上代码：

//计算四元数的幂
    static public Quaternion quaternion_exp(Quaternion q,float exp)
    {
        //若w==1,则w==cos(theta/2),theta/2==360,则sin(theta/2)==0
        //若w>1，输入的四元数不是单位四元数
        if(q.w>=1.0f)
        {
            return Quaternion.identity;
        }
        //计算theta/2
        float theta_2=Mathf.Acos(q.w);
        //四元数幂为exp,等于旋转角乘以exp
        float newTheta_2=theta_2*exp;
        float newW=Mathf.Cos(newTheta_2);
        //为了使得新构造的四元数也符合单位四元数定义
        //即[w,x,y,z]=[cos(theta/2),sin(theta/2)*Nx,sin(theta/2)*Ny,sin(theta/2)*Nz]
        float mult=Mathf.Sin(newTheta_2)/Mathf.Sin(theta_2);
        float newX=q.x*mult;
        float newY=q.y*mult;
        float newZ=q.z*mult;
        Quaternion result=new Quaternion(newX,newY,newZ,newW);
        return result;
    }

这段代码是四元数的幂的求法，为什么要求幂呢？

因为我们要对四元数进行插值。所谓插值，必然是权重值乘以”特定几何意义值“，然后得到合理的中间值的过程。

这里”特定几何意义值“，正是旋转的度数。

例如一个四元数q(sin60*Nx,sin60*Ny,sin60*Nz,cos60),表示绕（Nx，Ny，Nz）轴旋转30度，此时q^k则表示绕（Nx，Ny，Nz）旋转30＊k度。

具体证明不赘述，推荐参考《3D数学基础：图形与游戏开发》153页。

所以到这里，我们很清楚的知道，每个关键帧提供的Rotation，最后都应该以 Rotation^(weight_i/sum_weight)的形式提供给预设点。

然后呢？对应加法的运算，在四元数这边如何体现呢？

答案是：四元数叉乘，四元数叉乘几何意义即为连接两个旋转。

所以，预设点的旋转值，混合计算的式子应该是这样的：R1^(weight_1/sum_weight)*R2^(weight_2/sum_weight)*...*Rn^(weight_n/sum_weight)。

而四元数乘法，Unity3D中提供了Quaternion的＊运算符重载，直接用就是了。