【网络流】魔术球问题
魔术球问题
题目描述
«问题描述：
假设有\(n\)\((4\leq n \leq 55)\)根柱子，现要按下述规则在这\(n\)根柱子中依次放入编号为\(1，2，3，...\)的球。
\(（1）\)每次只能在某根柱子的最上面放球。
\(（2）\)在同一根柱子中，任何\(2\)个相邻球的编号之和为完全平方数。
试设计一个算法，计算出在\(n\)根柱子上最多能放多少个球。例如，在\(4\)根柱子上最多可放\(11\)个球。
«编程任务：
对于给定的\(n\)，计算在\(n\)根柱子上最多能放多少个球。
输入输出格式
输入格式：
第\(1\)行有\(1\)个正整数\(n\)，表示柱子数。
输出格式：
程序运行结束时，将\(n\)根柱子上最多能放的球数以及相应的放置方案输出。文件的第一行是球数。接下来的\(n\)行，每行是一根柱子上的球的编号。
输入输出样例
输入样例
4
输出样例
11
1 8
2 7 9
3 6 10
4 5 11
\(Solution\)
第一眼没思路，第二眼还是没有。
没思路想耍流氓二分。似乎可以，显然柱子越多，放的球越多（至少不会更少），满足单调性。那就二分答案判断呗。
怎么判断呢？
鉴于这是一道网络流的题。。。
图怎么建？什么情况下，两个点之间能有连边？满足两点标号之和为完全平方数。数范围不大，可以\(n^2\)枚举。但仅仅这样似乎不行。因为操作对象是点，不是边，因此要将点拆开。拆开之后，一边链接起点，拆出来的点链接终点。至于点与点之间，则是小的链接大的。边权都是\(1\)。
然后就是最大流板子。找到答案之后，再处理每条边上的点就好了。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#define INF 10000000
using namespace std;
long long read(){
long long x = 0; int f = 0; char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') f |= c == '-', c = getchar();
while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
return f? -x:x;
}
int n, s, t;
struct szh{
int to, next, w;
inline void clear(){to = next = w = 0;}
//因为要建很多遍图，所以要清空
}a[400000];
int cnt = 1, hd[10000];
inline void add(int u, int v, int w){//连边
a[++cnt].to = v, a[cnt].w = w, a[cnt].next = hd[u], hd[u] = cnt;
a[++cnt].to = u, a[cnt].w = 0, a[cnt].next = hd[v], hd[v] = cnt;
}
int Q[10000], dis[10000];
queue<int> q;
bool bfs(){//求增广路
memset(dis, 0, sizeof dis);
dis[s] = 1, q.push(s);
while(!q.empty()){
int u = q.front(); q.pop();
for(int i = hd[u], v; v = a[i].to, i; i = a[i].next)
if(a[i].w > 0 && !dis[v]) dis[v] = dis[u] + 1, q.push(v);
}
return dis[t];
}
int dfs(int u, int f){//增广
if(u == t || !f) return f;
int ans = 0;
for(int i = hd[u], v;v = a[i].to, i; i = a[i].next)
if(a[i].w > 0 && dis[v] == dis[u] + 1){
int x = dfs(v, min(f, a[i].w));
a[i].w -= x; a[i ^ 1].w += x, ans += x;
if(!(f -= x)) break;
}
return ans;
}
int mf;
void dinic(){//板子
mf = 0;
while(bfs()) mf += dfs(s, INF);
}
bool check(int x){
for(int i = 0; i < 100000; ++i) a[i].clear();//初始化
memset(hd, 0, sizeof hd);
cnt = 0, s = 0, t = 2 * x + 1;
for(int i = 1; i <= x; ++i){//建图
add(s, i, 1); add(i + x, t, 1);
for(int j = i + 1; j <= x; ++j)//连边
if(i + j == (int) sqrt(i + j) * sqrt(i + j)) add(i, j + x, 1);
}
dinic();
return x - mf <= n;
}
int nxt[10000];
bool use[10000];
int main(){
n = read();
int l = 1, r = 2000, mid, ans = 0;
while(l <= r){//二分
mid = (l + r) >> 1;
if(check(mid)) ans = mid, l = mid + 1;
else r = mid - 1;
}
printf("%d\n", ans);
check(ans);
for(int i = 1; i <= ans; ++i){
for(int j = hd[i], v; v = a[j].to, j; j = a[j].next){
if(v == s) continue;
if(!a[j].w) nxt[i] = v - ans;//记录路径
}
for(int j = hd[i + ans], v; v = a[j].to, j; j = a[j].next){
if(v != t) continue;
if(!a[j].w) use[i] = 1;//排除非起点
}
}
for(int i = 1; i <= ans; ++i){
if(use[i]) continue;
int u = i;
while(u){//从编号最小的点开始输出
printf("%d ", u); u = nxt[u];
}
printf("\n");
}
return 0;
}
