「题解」相框
这相框怕不是用来装我的遗像
（尝试不写缩进.ing）
原题出处：福建集训 2011
原题链接：link
「我的做题历程」：
step1：观察题面
「T 君不满足于焊接奇形怪状的作品，强烈的破坏欲驱使他拆掉这个作品，然后将之焊接成规整的形状。这会儿，T 君正要把这个怪物改造成一个环形，当作自己的相框。」——（变图为简单环）
「原有的作品可能不是连通的。」——（联通块可能不止一个）
「若不与任何焊点相连，则将这一端标号为 \(0\)。」——（可能有孤点）
「烧熔一个焊点：使得连接在焊点上的某些导线相分离或保持相连（可以理解为：把焊点上的导线划分为若干个类，相同类中的导线相连，不同类之间的导线相离）」——（允许拆点）。
注释：这里的「拆（熔）点」指什么？
下图即是一个熔点操作。
「某些焊点甚至没有任何导线与之相连，由于 T 君只关心导线，因此这些焊点可以不被考虑。」——（边用完后没连接上的的点不必考虑）。
一句话题意：给你一张图（可能是不连通的），允许更换端点或拆点，求最少操作多少步，使得原图变成一个简单环（不必联通所有的点，但要用上所有的边）。（不知道简单环的同学这边请 → 图论相关概念）
step2：思考解法
首先，我们需要承认：无向简单环上的所有点的入度和出度都等于 \(2\)。
然后，从简单想起（有且仅有一个联通块时）——
若要满足题意，则对于图上任一点 \(u\)，都有 \(d^-(u) = 2\)，所以我们要熔掉所有度数大于 \(2\) 的点。偶点便熔成若干入度为 \(2\) 的点，奇点便熔成若干入度为 \(2\) 的点 + 一个孤立点。
熔完后，对于图上任一点 \(u\)，一定有 \(d^-(u) \le 2\)，即此时图中一定仅存在链。这个时候要把他们变成简单环就简单的多了，只需首尾相连即可。
接着推广（有多个联通块时）——
先将所有联通块按上述方式拆解成若干条链，再把所有链连起来即可。值得注意的是，熔解过程中可能出现某一点 \(u\)，其 \(d^-(u) \equiv 1 \pmod 2\) （即入度为奇数的点，指上文的奇点），其熔解后多出来的孤立点需要和另一入度为 \(1\) 的点熔合；而对于熔合时出现的入度为 \(2\) 的点，。
还有 原本就孤立的点（自环或无边） 需要处理。当其他连通块拆解后仅剩链，没有多余的点来连接，而此时又有多余的边时，我们需要新建一个点与其连接。（因为题目只要求边连完，多加几个点也是没有问题的）
step3：完成代码
整合前面的分析，我们可以得出：ans = 奇点数除以二 + 偶点操作总数 + 入度大于 \(2\) 的点数。
代码（抵制学术不端行为，拒绝 Ctrl + C）：
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5, M = 2e5 + 5;
int n, m, a, b, d[N], tot, head[N], out[N], id[N], cnt1[N], cnt2[N], cnt;
struct Edge {
int to, next;
} e[M << 1];
void add(int u, int v) {
e[++tot].next = head[u], e[tot].to = v, head[u] = tot;
return;
}
void dfs(int node) { // 也可用并查集
id[node] = cnt; // 区分不同的连通块
for (int i = head[node]; i; i = e[i].next) {
int y = e[i].to;
if (!id[y]) {
dfs(y);
}
}
return;
}
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d %d", &a, &b);
if (!a) a = ++n; // 为孤立的点建点配对
if (!b) b = ++n;
d[a]++;
d[b]++;
add(a, b);
add(b, a);
}
if (!n) { // 没有点就把所有边连起来
printf("%d", m);
} else {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!id[i] && d[i]) {
cnt++;
dfs(i); // 染出不同的联通块，也可用并查集
}
}
int odd = 0, even = 0, over = 0;
// 分别代表：奇点数，偶点数，入度超过 2 的点数
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (!d[i]) {
continue;
}
if (d[i] & 1) {
cnt1[id[i]] = true; // 该块有奇点
odd++; // 统计奇点
}
if (d[i] > 2) {
cnt2[id[i]] = true; // 该块有入度大于二的点
over++; // 统计入度大于二的点
}
}
for (int i = 1; i <= cnt; i++) {
if (!cnt1[i]) {
if (!cnt2[i]) { // 该联通块仅有入度为 2 的点（是个环）
even += 2; // 拆环 + 熔合
} else {
even++; // 熔合
}
}
}
int ans = (odd >> 1) + even + over;
// 奇点两两融合，偶点可能熔合或拆环，入度大于二的点必须熔掉
printf("%d", ans);
}
return 0;
}
（相框里除了某君的遗像外还有 Accepted (heihei)）
让我们来解决 『相框』 叭~
Bye bye!!1 👋👋
