sgu 118 Digital root

The digital root (also repeated digital sum) of a non-negative integer is the (single digit) value obtained by an iterative process of summing digits

规律题

题意

　　定义f(n)为n各位数字之和，如果n是各位数，则n个数根是f(n)，否则为f(n)的数根

　　现在给出n个Ai，求出A₁*A₂*…*A_N + A₁*A₂*…*A_N-1 + … + A₁*A₂ + A₁ 这个式子的数根

　　多组数据

分析

　　首先，要知道这样一个结论：

　　　　任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和

 

　　具体证明过程如下：

　　设自然数N=a[n]a[n-1]…a[0]，其中a[0]，a[1]、…、a[n]分别是个位、十位、…上的数字

　　再设M=a[0]+a[1]+…+a[n]

　　求证：N≡M(mod 9).

  　证明：
 　　  ∵ N=a[n]a[n-1]…a[0]=a[n]*10^n+a[n-1]*10^(n-1)+…+a[1]*10+a[0].
 　　 又∵ 1≡1(mod 9),
     　　 10≡1(mod 9),
   　　   10^2≡1(mod 9),
  　　      … 
 　　     10^n≡1(mod 9).
 　　 上面这些同余式两边分别同乘以a[0]、a[1]、a[2]、…、a[n]，再相加得：
 　　　　 a[0]+a[1]*10+…+a[n]*10^n≡(a[0]+a[1]+…+a[n])(mod 9)，
  　　　　　　　　　　　　　　　　  即 N≡M(mod 9)，得证。

 

结论：如果x本身为0，digitalRoot(x)  ，如果x>0 ,digitalRoot(x)=(x+8)%9+1

或者 digitalRoot(x)=(x-1)%9+1

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
int a[1010];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        LL ans=((LL)a[n-1]+8)%9+1;
        for(int i=n-2;i>=0;i--)
        {
            ans=((ans+1)*a[i]+8)%9+1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}