【线性代数】 基、维数

m*n矩阵A，m < n，则线性方程组Ax = 0含有自由变量， 矩阵A的零空间除了0向量外还有其他解。

 

线性相关和线性无关

一组向量v1,v2,...vn, 如果存在一个系数不全为零的线性组合，得到零向量，则称这组向量线性相关； 否则称线性无关。

这组向量构成矩阵A的列向量，若这组向量线性无关，等价于矩阵A的零空间N(A) 只含有零向量一个元素； 若线性相关，等价于N(A)还含有其他元素。

 

一组向量中如果含有零向量，则这组向量一定线性相关。

 

张成空间

一组向量的张成空间（span）：包含一组向量所有线性组合的最小线性空间，用“S”表示

 简单的说，就是一组向量v1,v2,...vn线性组合的集合

 

基

一个空间的基：（一）张成该空间   （二）线性无关

R^n空间，n个n维向量是基，等价于以这n个向量为列的矩阵可逆

 

维数

给定一个空间，所有基中向量个数是相同的，个数成为维数

 

dim C(A) =  rank(A) = # pirot columns 

dim N(A) = # free variables = n - rank(A)

 

 

总结：

线性无关：一组向量线性组合不为零

张成：向量组的线性组合

基：张成空间的线性无关向量

维数：基向量的个数