【线性代数】主变量、特解

消元法解Ax=0
消元过程中，方程通过加减消元本质上是线性变换，解是不会改变的。实际上，消元法改变了系数矩阵的列空间，而不改变系数矩阵的行空间。
行向量或者列向量之间的相关性可以在消元过程中表现出来。

 

                                                       

 

 对 A 进行消元（消元不改变 A 的零空间，改变 A 的列空间）得

                                                             

 

 其中， 1,2为主元（每个非零行的第一个非零元素就是主元）， 1,2所在的列第一列、第三列称为主元列，第二列、第四列称为自由列。

主元的个数即为 A 的秩，即 rankA=2.

设 x=(x1,x2,x3,x4)^T，则 x1,x3称为主变量，x2,x4 称为自由变量，自由变量的个数为未知数的个数减去主元的个数（即减去 A 的秩），即若 A 是 m×n 维矩阵，则自由变量的个数为 n−rankA.

由于消元不改变方程组的解，因此求解 Ax=0就等价于求解 Ux=0.
分别取自由变量 (x2,x4)=(1,0),  (x2,x4)=(0,1),可得 Ux=0的两个特解
                                                           

 

 因此，零空间中的元素为:

 

                                                              

 

 

简化行阶梯形式

在简化行阶梯形式中，主元上下的元素都为 0，且主元都为 1.

下面我们进一步将矩阵 U 化为简化行阶梯形式 R

                                                      

 

 

也可以使用 MATLAB 命令 rref(A)

                                                              

 

 

求解 Ax=0就等价于 Rx=0