GDKOI2023 错排

逆天。

转化后的题意

$q$ 组询问，求有 $n-m$ 个自由元素，$m$ 个限制元素的错排问题。

$1\le n,m,q\le 2\times {10}^5$

首先写出三种组合意义的转移方程：

$$\begin{array}{rlr}f(n,m)& =f(n,m-1)-f(n-1,m-1)& (1)\\ f(n,m)& =(m-1)f(n-1,m-2)+(n-m)f(n-1,m-1)& (2)\\ f(n,m)& =mf(n-1,m-1)+(n-m)f(n-1,m)& (3)\end{array}$$

结合 $(1),(2)$，当我们将 $(n,m),(n,m-1),(n-1,m-1),(n-1,m-2)$ 四个位置放到坐标系中，注意到它们排列为一个平行四边形。显然只要知道其中两个就能通过解上面给出的方程得到另外两个。对于 $(1),(3)$ 也是同理。所以我们通过维护所有 $(f(a,b),f(a+1,b+1))$ 的数对，显然可以在 $\mathrm{\Theta }(1)$ 时间内使得 $a$ 或 $b$ 增加 $1$，结合回滚莫队即得解。