P9501 RiOI-2 likely

好好好好好题

$T$ 组数据，给定 $n,m,k$，求所有 $2^n$ 个大小为 $n$ 的由 $\pm 1$ 组成的有标号环 $a_{0\dots n-1}$ 中，有多少个满足 $\sum _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{m-1}{a}_{(i+j)modn}=k$。对 $998244353$ 取模。

$1\le T\le 10,2\le n,\sum n\le 5\times {10}^6,|k|\le n,2\le m\le n$

显然的这就是对 $b_i=\prod _{j=0}^{m-1}{a}_{(i+j)modn}$ 中 $-1$ 的个数进行了限制，以下重新令 $k$ 表示这个个数。于是我们关心对于一个特定的 $b$ 序列，如何判断是否存在 $a$ 序列与其对应，以及对应的 $a$ 序列有多少个。

对于任何一个 $b$，考虑它对应的 $c_i=b_i{b}_{i+1}=a_i{a}_{(i+m)modn}$，显然地，下标划分成了 $g=gcd(n,m)$ 个不同的小环。这些小环上，$c$ 的数值乘积为 $0$，也就是说相邻两个 $b$ 小环的乘积相等，也就是所有 $b$ 小环的乘积都相等，这也就是说，所有小环上要么都有奇数个 $-1$，要么都有偶数个。所有合法的 $b$ 数组必须满足这条性质。

当确定了一个满足上述条件的 $b$ 数组后，通过它对应的 $c$ 数组，我们确定了每个环上的 $a$ 的相互关系，也就是说，只要确定其中的任何一个元素，就能确定整个环。此时对应的 $a$ 数组恰好有 $2^g$ 个（它们并不都合法）。$b$ 可以由 $c$ 和 $b_0$ 唯一确定，也就是说，当前找到的满足 $c$ 限制的 $a$ 数组，如果同时满足 $b_0$ 的限制，就能唯一对应上我们正在考虑的 $b$ 数组。

对于每个环，只有将其整体反转的操作可以进行。当 $\frac{m}{g}$ 为偶数时，对任何一个环做反转都是没有用的。只有一部分（$2^{n-g}$ 个满足某种性质的）$b$ 是合法的，并且这些 $b$ 恰好对应了 $2^g$ 个合法的 $a$（每个环上 $a$ 都可以任意反转）。而当 $\frac{m}{g}$ 为奇数时，每个满足先前限制的 $b$ （$2^{n-g+1}$ 个）都恰好对应了 $2^{g-1}$ 个合法的 $a$。分别考虑两种情况的答案。

首先考虑 $\frac{m}{g}$ 为奇数。令 $t=\frac{n}{g}$，则答案为：

$$2^{g-1}[z^k]({(\sum _{i=0}^t[i\equiv 0(\mathrm{mod}2)](\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{i})z^i)}^g+{(\sum _{i=0}^t[i\equiv 1(\mathrm{mod}2)](\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{i})z^i)}^g)$$

接下来考虑 $\frac{m}{g}$ 为偶数的情况。注意到每个环上 $a$ 中所有元素会被算恰好 $\frac{m}{g}$ 次，所以我们相当于额外限制所有小环上有偶数个 $-1$。所以答案即为：

$$2^g[z^k]{(\sum _{i=0}^t[i\equiv 0(\mathrm{mod}2)](\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{i})z^i)}^g$$

怎么求这个东西呢？注意到设 $\sum _{i=0}^t(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{i})z^i=(1-z{)}^t,\sum _{i=0}^t(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{i})z^i=(1+z{)}^t$。所以

$$\begin{array}{r}F={(\sum _{i=0}^t[i\equiv 0(\mathrm{mod}2)](\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{i})z^i)}^g=\frac{1}{2^g}{((1+z{)}^t+(1-z{)}^t)}^g\\ G={(\sum _{i=0}^t[i\equiv 1(\mathrm{mod}2)](\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{i})z^i)}^g=\frac{1}{2^g}{((1+z{)}^t-(1-z{)}^t)}^g\end{array}$$

显然求这两个多项式的点值需要用到长度为 $\mathrm{\Theta }(tg=n)$ 级别的 NTT，这个显然不可能过。但是由后面的封闭形式，很容易用快速幂求出单位根处的点值，大大加速求解过程。时间复杂度为 $\mathrm{\Theta }(n\log V)$，常数很小。