南外集训 2024.1.12 T3/AGC022F Checkers 加强版
第一步转化比较套路，DP 设计需要很强的洞察力，最后的优化也很考验基本功。
有 \(n\) 个 \(n\) 维空间中的点，第 \(i\) 个点 \(x_i\) 满足 \(x_{i,i} = 1, x_{i, j} = 0(\forall i\neq j)\)。接下来进行 \(n - 1\) 次操作，每次任选两个点，将第一个点关于第二个点对称，然后删掉第二个点。求最后剩下点的坐标有多少种。答案对 \(M\) 取模。
\(1\le n\le 500, 10^4+7\le M\le 10^9+7\)，且 \(M\) 是素数。
只需要考虑每个点的系数。注意到这个系数只会是 \(\pm 2^d\)，也就是我们只关心在整个过程中它被作为第二个点合并了多少次，以及他被作为第一个点合并了奇数还是偶数次。将每一次合并的第二个数按照顺序挂在第一个数下面，形成一棵树，那么 \(d\) 就是这个点的深度，\(-1\) 的次数就是【它的儿子个数】加上【它到根的链上所有右侧的兄弟个数】。
考虑用 DP 做计数。在加入一层时需要知道当前层符号为 \(-1\) 和 \(+1\) 的具体个数。注意到一个点的符号还和自己的儿子个数有关，所以需要在 DP 状态中记录有关那些儿子个数为奇数的点的信息，然后在下一层满足这些要求。
注意到，如果一个点的儿子个数是偶数，那么在不考虑更下一层的情况下，所有它的儿子恰好有一半和它符号相同，一半和它相反，所以我们并不关心这个点的符号到底是什么，实际上我们只关心有多少个点被挂在了偶数子树下，全部这些点中的一半符号是 \(-1\)，一半是 \(1\)。而有奇数个儿子的点，可以把第一个儿子拆出来，后面的点也是一半一半分布。所以我们事实上只关心上一层有多少奇数个儿子的点，以及这些点的符号是什么。进一步思考，如果这些奇数个儿子的点中，既存在符号为 \(-1\) 的又存在符号为 \(1\) 的，那么直接把其中一个的第一个儿子摘下来挂到另一个上面，那么上一层和这一层的 \(-1\) 和 \(1\) 个数都完全不变，如果我们先不急着分配标号，就会发现这样调整完全不影响计数。所以可以直接要求上一层所有有奇数个儿子的所有点，它们的符号都一样。
有了上一段的一系列强有力的结论，我们可以设计出 DP 状态：\(f_{i,j}\) 表示前几层总共 \(i\) 个元素，最后一层有 \(j\) 个点希望有奇数个儿子。不妨设上一层有奇数个儿子的这些点最终的符号都是 \(+\)，那么它的儿子的原始符号是 \(-\)，总共个 \(j\)，同时枚举下一层还有 \(x\) 对 \(\pm 1\)，这样我们得到了 \(x+j\) 个 \(-\) 和 \(x\) 个 \(+\)，我们接下来枚举有 \(y\) 个 \(-\) 被转变成 \(+\)（\(y<0\) 表示有 \(+\) 被转变为 \(-\)），这样 \(y\in [-x, x+j]\)。我们最终获得了 \(j+x-y\) 个 \(-\) 和 \(x+y\) 个 \(+\)，发生转变的点也就是有奇数个儿子的点个数是 \(|y|\)。那么写出转移方程：
方便起见我们拆掉组合数，最后再乘以 \(n!\) 即可。
这里我们已经得到了一种 \(\Theta(n^4)\) 做法，当然不能通过。接下来我们要通过分步预处理将这个 DP 优化成 \(\Theta(n^3)\)。考虑对于每个 \(f_{i,j}\)，枚举 \(x-y = d_1\)，将 \(\frac{1}{(j+d_1)!}\cdot f_{i,j}\) 贡献到 \(g_{i+j, x-y}\)，接下来枚举 \(g_{s, d_1}\) 以及 \(d_2 = x+y\)，这时候我们可以通过 \(d_1, d_2\) 算出 \(x,y\) 的具体数值，将 \(\frac{1}{d_2!}\cdot g_{s, d_1}\) 贡献到 \(f_{s+2x,|y|}\)。时间复杂度 \(\Theta(n^3)\)。
