ARC068F Solitaire

题意

将 $1\dots n$ 依次加入一个双端队列，然后再一个一个弹出，要求得到的第 $k$ 个数是 $1$，求得到的排列有多少种。

做法

我们首先考虑 $n=k$ 的问题。经过简单的转化不难发现，我们实际上是在数有多少个长度为 $n-1$ 的排列可以被划分成两个上升子序列。考虑这样的贪心：所有前缀最大值都被放入到第一个上升子序列，剩下的数放入第二个。容易证明如果合法，一定可以这样划分。那么我们只关心第二个上升子序列的最大值在当前前缀的排名。设 $f(m,i)$ 表示长度为 $m$ 的子序列，第二个上升子序列的最大值排名为 $i(0\le i\le m-1)$，那么有转移：

$$\{\begin{array}{l}f(1,0)=1,\\ f(m,i)=\sum _{j=0}^{i}f(m-1,j)=f(m-1,i)+f(m,i-1),\\ f(m,m)=0\end{array}$$

所以 $f(m,i)$ 实际上表示从 $(1,0)$ 开始，走到 $(m,i)$，且过程中始终有 $y\le x-1$，这个题目最早在商朝的青铜器上就有记载，反射容斥一下容易发现 $f(m,i)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-1+i}{i})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-1+i}{i-1})=\frac{m-i}{i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+i-1}{i-1})$。不难发现 $n=k$ 时答案为 $\sum _{i=0}^{n-2}f(n-1,i)=f(n,n-1)=\frac{1}{n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2}{n-1})$。

下面考虑 $n\ne k$，一开始的想法是枚举一些东西然后推式子，但是因为形式太复杂最终以失败告终（也许能行）。我们实际上需要限制 $n$ 的位置在 $k$。考虑逆排列，它合法当且仅当原排列合法，那么我们实际上限制了最后一个元素是 $k$；而当 $k\ne n$ 时，这个元素一定在第二个子序列中，并且是它的最大值。所以此时答案即是 $2^{n-k-1}f(n,k)=2^{n-k-1}((\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k-1}))$。