2023 牛客多校 9 B
给定 \(1 \le a < m \le 10^9\),求 \(1 \le u \le 10^{18}\) 使得 \(a^u \equiv u \pmod m\)。
做法
先考虑不限制解的大小怎么做。显然有如果 \(a^v \equiv v \pmod {\varphi(m)}\),且 \(v \ge \varphi(m)\),则 \(a^{a^v} \equiv a^v \pmod m\),于是取 \(u = a^v + m\varphi(m)\) 是一组当前问题的解,且 \(u \ge m\)。又有一个数迭代取 \(\varphi\),只需要 \(\log\) 次就变成 \(1\),由此得到一个递推做法。在限制解的大小的前提下,发现可以对 \(m\varphi(m)\) 取模,于是解变为 \(a^v \bmod (m\varphi(m)) + m\varphi(m)\),不好的是这个数可能达到 \(2m\varphi(m)\) 级别,大于了 \(10^{18}\),但是考虑最后一轮其实不一定需要加上 \(m\varphi(m)\),因为没有下一次迭代。唯一的例外是如果 \(a^v \bmod (m\varphi(m)) < \varphi(m)\) 时必须加上,此时容易发现解不会超过 \(10^{18}\)。