2023 牛客多校 8 D

题意

给定一个 \(n\) 个点的树，点有 \([0, m)\) 的点权，边有正的边权。\(q\) 次询问给定 \(u, x\)，求 \(u\) 的子树内选择三个点，使得点权和模 \(m\) 意义下等于 \(x\)，它们距离和的最大值。

做法

朴素暴力是在每个点 \(m^2\) 卷积合并儿子，最终在三个点的 LCA 处统计这个三元组，回答询问就好办了。

考虑加个优化：对于大小为 \(s\) 的子树，它的 \(f\)（选了一个点）至多有 \(s\) 个非空位置；它的 \(g\)（选了两个点）至多有 \(s^2\) 个非空位置。我们转移的时候先把这些非空位置找出来，然后互相配对进行转移。这样看起来只是常数优化，但是时间复杂度其实变成了 \(\Theta(nm^{1.5})\)。

考虑把子树分为两类（假设我们已经三度化，实际上不需要显式操作，只需要直接按顺序合并儿子就与这等价）——大小超过 \(B\) 的和小于 \(B\) 的。两个大子树合并总共只会发生 \(n/B\) 次，贡献是 \(nm^2/B\)。两个小子树合并会发生 \(n\) 次，但是复杂度只有 \(B^3\)，贡献是 \(nB^3\)。一大一小子树合并，复杂度是 \(s^2m\)，其中 \(s\) 是小子树大小。可以放缩成 \(sBm\)，然后把 \(s\) 分配到小子树里的每个点上——每个点的祖先链一定是下面一段小子树，上面一段都是大子树，所以每个点只会贡献一次，总复杂度 \(nmB\)。总结一下就是 \(\mathrm O(\frac{nm}{B}+nB^3+nmB)\)，注意到这个分析中的 \(B\) 是任取的，取它等于 \(\Theta(\sqrt{m})\) 就有总复杂度是 \(\Theta(nm^{1.5})\)。

一言以蔽之就是树形背包怎么分析都是对的。