Gym103687D The Profiteer：回滚莫队信息双指针可以做到线性对数

标题写得好

所谓的回滚莫队信息意思是，设信息保存在两个大小分别为 $a, b$ 的结构上，将这两个信息进行合并得到大小为 $a + b$ 的信息需要的时间为 $Ω (min {a, b} \cdot f (n))$ ；而给定一个大小为 $1$ 的信息，可以在 $O (f (n))$ 时间内将它加入到任何一个结构中，得到新的结构的信息。换句话说，这是一种可以支持加入，但是不支持合并（合并开销不如一个一个加入）的信息。一个例子是颜色出现个数的最大值（《历史的研究》），另一个例子是 $m = Ω (n)$ 条件下的背包问题（例题）。

双指针的意思是：给定一个序列长度为 $n$ ，对于每一个 $l \in [1, n]$ ，我希望求出第一个 $r \geq l$ 使得区间 $[l, r]$ 的信息具有某种特性，记这个问题的答案为 $f (l)$ 。保证 $\forall l_{1} < l_{2}$ ，有 $f (l_{1}) \leq f (l_{2})$ ，也就是问题的答案单调上升。对于莫队信息（支持删除），我们有尺取法可以在 $O (n)$ 时间复杂度内解决这个问题（以下假设信息合并时间为 $O (1)$ ）；对于支持快速合并但是不能删除的信息，我们有 baka's trick 即双栈法可以在同样时间复杂度下解决问题。现在，对于回滚莫队信息，快速解决双指针问题，也可以做到吗？

首先回顾回滚莫队，它可以解决给出序列上 $m$ 个区间，要求询问区间内回滚莫队信息的问题，时间复杂度为 $O (n \sqrt{m})$ 。~~即使询问区间满足左右端点单调性相同，上述问题也只能做到 $Ω (n \sqrt{m})$ 。~~（对不起怎么想都是可以单 $\log$ 的，用下文做法即可）。以相似的思路，我们对于双指针问题很容易基于分块给出 $O (n^{1.5})$ 的做法。那么存在更优做法吗？

对于序列进行整体二分。设当前状态为 $(l, r, L, R, X)$ ，表示求解区间 $[l, r]$ 内所有 $f (i)$ ，并且已知它们的范围是 $[L, R]$ 。 $X$ 表示区间外信息，即若 $r < L - 1$ 则 $X$ 表示区间 $[r + 1, L - 1]$ 的信息。接下来，考虑取 $P = ⌊ \frac{L + R}{2} ⌋$ 。我们需要找到一个最大的 $p \in [l, r]$ ，使得 $f (p) \leq P$ 。那么直接枚举即可，分治层数是 $O (\log n)$ ，每一层的 $[l, r]$ 和 $[L, R]$ 都不交，所以总复杂度是 $Θ (n \log n)$ 。